Valores propios, núcleo y rango de un operador compacto: ¿cómo empezar?

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio:

Dejemos que $f\in\mathcal{C}([0,1])$ y que $T$ un operador tal que $Tf(x)=\int_0^1(x-t)f(t)dt$ . He demostrado que $T$ es un operador lineal acotado y, mediante el teorema de Ascoli-Arzelà, que es un operador compacto.

Ahora necesito encontrar su núcleo, su rango (mostrando una base) y su espectro. Estoy bastante atascado, sin una idea que me haga empezar.

Gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

Como dijo Chris Eagle, $\ker T=\ker L_1\cap \ker L_2$ , donde $L_1$ y $L_2$ son dos funciones lineales continuas sobre $\mathcal C([0,1])$ definido por $L_1(f)=\int_0^1f(t)dt$ y $L_2(f)=\int_0^1tf(t)dt$ . Tenemos $$\operatorname{rank}(T)=\left\{x\mapsto ax+b,a,b\in\mathbb C\right\}.$$ En efecto, la fórmula $T(f)(x)=x\int_0^1f(t)dt-\int_0^1tf(t)dt$ muestran que cada elemento del rango debe tener esta forma. Dado que $T(2)(x)=2x-1$ y $T(6X)(x)=3x-2$ podemos obtener todas estas funciones.

Para el espectro, toma $\lambda\neq 0$ . Un vector propio debe tener la forma $f(t)=at+b$ con $a,b\in\mathbb C$ . Obtenemos el sistema $$\left\{\begin{array}{cc} \left(\lambda-\frac 12\right)a-b&=0\\\ \frac a3+\left(\lambda+\frac 12\right)b&=0, \end{array} \right. $$ que tienen una solución no trivial si y sólo si $\lambda^2-\frac 14+\frac 13=0$ es decir $\lambda^2+\frac 1{12}=0$ Así que $\lambda=\pm\frac i{2\sqrt 3}$ . Podemos comprobar que para estos $\lambda$ tenemos efectivamente un vector propio, a saber $f(x)=2\sqrt 3x-\sqrt 3\pm i$ por ejemplo. Desde $T$ es compacto en un espacio vectorial de dimensión infinita, el espectro es $\{0\}\cup \{\mbox{eigenvalues}\}$ Así que $\sigma(T)=\left\{0,\frac i{2\sqrt 3},-\frac i{2\sqrt 3}\right\}$ .