¿Es$\mathbb{R}$ una extensión algebraica de algún subcampo apropiado?

Question

Hay un (correcto) subcampo $K$ $\mathbb{R}$ tal que $\mathbb{R}$ es una extensión algebraica de $K$?

A partir de esta pregunta, ¿existe una adecuada subcampo $K\subset \mathbb R$ tal que $[\mathbb R:K]$ es finito?, es evidente que para tal $K$, $[\mathbb{R}:K]=\infty$.

Esta pregunta parece ser no trivial, y sospecho que cualquier existencia resultado no va a ser constructivo. Las eventuales referencias que será apreciado.

Answer 1

Sólo para tener al menos una respuesta real a la pregunta, voy a convertir el comentario de PVAL a una respuesta.

Usando el lema de Zorn existe una base de trascendencia$B$ de$\Bbb R$ sobre$\Bbb Q$: un conjunto máximo algebraicamente independiente (sobre$\Bbb Q$) de números reales. Entonces$\Bbb Q(B)$ es un subcampo de$\Bbb R$, y por maximalidad cada elemento de$\Bbb R$ es algebraico sobre$\Bbb Q(B)$. Así que$\Bbb R/\Bbb Q(B)$ es una extensión algebraica.

Answer 2

Esto se deduce del teorema de Artin-Schreier: Si$C$ es cerrado algebraicamente y$[C:R]<\infty$ entonces$R$ es cerrado y$C=R(\sqrt{-1})$

Answer 3

No. Sea$L\subset \mathbb{R}$ un subcampo. Dé$L$ la topología de la métrica euclidiana estándar. Dado que$\mathbb{R}/L$ es un espacio vectorial de dimensión finita, y$\mathbb{R}$ es completo, se sigue que$L$ también está completo. Además,$L$ contiene$\mathbb{Q}$. Por lo tanto,$L$ es una finalización de$\mathbb{Q}$. Pero esto es una contradicción.

(Editar: Mi post no responde a la pregunta original sobre las extensiones algebraicas, sólo las finitas).