Una pregunta sobre un cálculo de series infinitas.

Question

Quiero demostrar que para$y >0$,$ x \in \mathbb R$

Answer 1

Vamos a usar J. M. excelente sugerencia : $$\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{y}{(x+n)^2 + y^2}=-\ \Im{\sum_{n=-\infty}^\infty \frac 1{x+iy+n}}$$

Establecimiento $z:=x+iy\ $ vamos a evaluar : $$\sum_{n=-\infty}^\infty \frac 1{z+n}=\frac 1z+\sum_{n=1}^\infty \frac 1{z+n}+\frac 1{z-n}=\frac 1z+\sum_{n=1}^\infty \frac {2z}{z^2-n^2}$$

La serie a la derecha puede ser simplificado (esta fue demostrado muchas veces a S.E. por ejemplo aquí o aquí o aquí) obteniendo : $$\pi\cot(\pi z)=\frac1{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2z}{z^2-n^2}$$

y el simple resultado : $$\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{y}{(x+n)^2 + y^2}= -\pi\;\Im{(\cot\pi (x+iy))}$$ Su problema es que esta simple respuesta no parecen estar relacionados con su más complicados resultado. Peor de su L. H. S y R. H. S. términos no numéricamente corresponde de modo que parece que tienes un problema en tu pregunta !

Vamos a añadir que su R. H. S. término puede escribirse como la mitad : $$\frac{1 - e^{-4 \pi y }}{1 - 2 e^{-2 \pi y} \cos ( 2 \pi x ) + e^{-4 \pi y}}=\frac{\sinh(2\pi y)}{\cosh(2 \pi y) - \cos ( 2 \pi x )}$$

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ACTUALIZACIÓN: De hecho, la ecuación debe leer (simplemente multiplicando su R. H. S. por $2\pi$) : $$\boxed{\displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{y}{(x+n)^2 + y^2} = \pi\frac{1 - e^{-4 \pi y }}{1 - 2 e^{-2 \pi y} \cos ( 2 \pi x ) + e^{-4 \pi y}}}$$

Queremos : $$\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{y}{(x+n)^2 + y^2}= -\pi\Im{(\cot \pi (x+iy))}$$

Vamos a observar que $\ \sin a-\sin b=2\sin\frac{a-b}2\cos\frac{a+b}2$ $\ \cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2$
implica (dividiendo estas expresiones) : $$\frac {\sin a-\sin b}{\cos a-\cos b}=-\cot \frac{a+b}2$$

Set $a:=2\pi x,\ b:=2\pi i y\ $ para obtener : $$-\cot\pi (x+iy)=\frac {\sin 2\pi x-\sin 2\pi i y}{\cos 2\pi x-\cos 2\pi i y}=\frac {\sin 2\pi x-i\sinh 2\pi y}{\cos 2\pi x-\cosh 2\pi y}$$ así que : $$\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{y}{(x+n)^2 + y^2}=-\pi\frac {\sinh 2\pi y}{\cos 2\pi x-\cosh 2\pi y}$$

$$= \pi\frac{1 - e^{-4 \pi y }}{1 - 2 e^{-2 \pi y} \cos ( 2 \pi x ) + e^{-4 \pi y}}$$

Answer 2

Para las funciones apropiadas$ƒ$, la fórmula de suma de Poisson puede expresarse como:

ps

Donde$$ \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(k+x) {\rm e}^{-ikx} = \sum_{n=-\infty}^\infty F(n+x)\,, $ es la transformada fourier de$F$. Deje que$f$ entonces

ps

Utilizando la anterior fórmula de suma de Poisson, tenemos,

ps

Ahora, todo lo que necesitas hacer es manipular la suma en el lado derecho en la ecuación anterior.