¿Cuál es el máximo común divisor $0$ y $0$? Por un lado, que Wolfram Alpha dice que es $0$; por otra parte, también afirma que divide a que $100$ $0$, $100$ debería ser un divisor común mayor de $0$ y $0$ $0$.
Respuestas
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La palabra "mayor" en "máximo Común Divisor" no se refiere a ser más grande en el habitual orden de los números naturales, pero para ser más grande en el orden parcial de la divisibilidad en los números naturales, en los que consideramos que $a$ a ser más grande que la de $b$ sólo al $b$ se divide en partes iguales en $a$. La mayoría de las veces, estos dos órdenes de acuerdo siempre que el segundo está definido. Sin embargo, mientras que, en el orden usual, $0$ es el menor número natural, en virtud de la divisibilidad de la orden, $0$ es el mayor número natural, porque cada número se divide $0$.
Por lo tanto, ya que cada número natural es un divisor común de a$0$$0$, e $0$ es el más grande (en la divisibilidad) de los números naturales, $\gcd(0,0)=0$.
user43208
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Me respondió a esta ya en un comentario en MO: "La mejor manera de pensar acerca de esto es que el "gcd" de dos números naturales es el conocer de ellos en el entramado de los números naturales ordenados por la divisibilidad. Tenga en cuenta que $0$ es el elemento de la parte superior de la divisibilidad de la orden. El encuentro de la parte superior del elemento con el sí mismo es el sí mismo. Por lo $0 = \gcd(0, 0)$ es la respuesta. 'Más grande' es un desafortunado nombre poco apropiado en este caso."
El libro de Matemáticas que se hace Difícil tiene una bonita sección de esta. Debería quizás ser mejor llamado "máximo común divisor" (hcf).
freespace
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Simplemente dijo: - esto depende de su definición.
Claramente, si $d=\gcd(a,b)$, por lo que requieren $d\mid a$, $d\mid b$, es decir, es un divisor común.
Pero hay dos posibilidades de cómo expresar que es el mayor divisor común.
Uno de ellos es exigir $$c\mid a \land c \mid b \Rightarrow c\le d$$ y el otro es $$c\mid a \land c \mid b \Rightarrow c\mid d.$$
Claramente, si se utiliza la primera definición, $\gcd(0,0)$ sería el entero más grande, por lo que no existe. Si utiliza el segundo, consigue $\gcd(0,0)=0$. (Tenga en cuenta que $0$ es el mayor elemento del conjunto parcialmente ordenado $(\mathbb N,\mid)$.)
Por lo que puedo decir, la primera definición que aparece en algunas de texto que son "para principiantes"; por ejemplo aquí. (Fue uno de los primeros resultados de búsqueda de Libros de Google al buscar "gcd(0,0)".)
Yo diría que para los estudiantes no saber que $\mid$ es de hecho un orden parcial, la primera definición podría sentirse más natural. Pero una vez que usted desea utilizar esta colección con cosas más avanzadas (por ejemplo, g.c.d. como generador de un ideal generado por a$a$$b$), luego la segunda definición es mejor.
Richard
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GmonC
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La definición de $\gcd(a,b)$$\def\Z{\mathbf Z}a,b\in\Z$, a la no-negativo del generador del ideal de la $a\Z+b\Z$ da $\gcd(a,0)=|a|$ todos los $a$, incluso para $a=0$. Del mismo modo se puede definir $\def\lcm{\operatorname{lcm}}\lcm(a,b)$ a ser el no-negativo del generador del ideal de la $a\Z\cap b\Z$, lo que da $\lcm(a,0)=0$ todos los$~a$ (tenga en cuenta que dado que este es el único múltiplo común en este caso, es poco probable que provocan mucha discusión).
La adición de estos casos a las definiciones usuales de la $\gcd$ $\lcm$ para un valor distinto de cero enteros no causa problemas; todas las fórmulas usuales siguen siendo válidos. De hecho, si uno quiere que la regla de $\gcd(xy,xz)=|x|\gcd(y,z)$ a celebrar por todos los números enteros $x,y,z$, uno está forzado a $\gcd(0,0)=0$.
Por otro lado, no creo que es absolutamente vital para las matemáticas para tener $\gcd(0,0)$ definido, de la misma manera como $0+0$, $0\times0$ y $0^0$ necesitan ser definidos (y $0/0$ tiene que ser indefinido) para que las habituales reglas de álgebra que uno usa todo el tiempo para que sea válido. Creo que sería suficiente para calificar a la regla I citado por "$x\neq0$" si uno quiere salir de $\gcd(0,0)$ indefinido; otras reglas como $\gcd(a,b)=\gcd(a,a-b)$ no parecen equiparar $\gcd(0,0)$ con algo más. La razón por la que dejarlo indefinido no es tan dramático es que al considerar la divisibilidad, $0$ es a menudo excluidos de todos modos; por ejemplo, tiene que ser puesto a un lado en el teorema de Factorización Única.
