¿Términos de superficie para integrales de trayectoria de campo?

Question

Mi pregunta se refiere a algo que He visto en muchos libros, y aparece en todo su esplendor aquí: Ryder, pg 198

Mi pregunta es acerca de la ecualización. 6.74. Que repito a continuación:

$$i \int {\cal D}\phi \frac{\delta \hat{Z} [\phi] }{\delta \phi} exp \left(i\int J(x) \phi(x) dx\right) = i\; exp \left(i\int J(x) \phi(x) dx\right) \hat{Z}[\phi] \Bigg|_{\phi\rightarrow\infty}+ \int {\cal D}\phi J(x) \hat{Z}[\phi] exp \left(i\int J(x) \phi(x) dx\right)$$

$\phi$ es un campo escalar, J es una fuente, $x = x_{\mu}$ en 4D espacio de Minkowsky y $\hat{Z}[\phi] = \frac{e^{iS}}{\int {\cal D}\phi\; e^{iS}}$

El autor está claramente haciendo una integral por partes y el primer término del lado derecho es un tipo de superficie de plazo para la ruta integral. Él entonces se considera que este término es cero y el segundo nos da:

$$i \int {\cal D}\phi \frac{\delta \hat{Z} [\phi] }{\delta \phi} exp \left(i\int J(x) \phi(x) dx\right) = J(x) Z[J]$$

El truco aquí es que la integral de los límites de $\int{\cal D}\phi$ no son muy evidentes (al menos no para mí). Usted está en el hecho de resumir para todas las configuraciones del campo. Así que, en realidad, hay dos problemas en mi mente:

1. Por lo que la configuración de $\phi$ es la superficie de plazo calculado? (el autor dice que es $\phi \rightarrow \infty$)

2. Suponiendo que el autor está en lo correcto acerca de tomar gran $\phi$: ¿por qué este término cero?

Esto se aplica a la ruta de las integrales en general: podemos hacer el truco habitual de tirar la superficie términos de forma segura?

Answer 1

Uno no debe confundir el campo de espacio con el espacio físico. El campo espacio es una especie de colector sin límites (para un no lineal de sigma modelo) o $R^n$ para el habitual campo de las teorías, en cualquier caso, la integración por partes de obras en el espacio Euclidiano, o si agrega un poco de la parte imaginaria de los propagadores de modo que la acción es la descomposición en valores grandes de a $\phi$.

La integración por partes en el campo espacio es simple--- no hay límites en el campo del espacio, excepto en el infinito campo de los valores, y la distancia Euclídea o ligeramente fuera del Minkowsky acción decae en el infinito.

No hay ninguna relación con la integración por partes en el espacio físico involucrado para instantons u otros topológica de las cosas.

Answer 2

Él es de imaginar las posibles valores de $\phi$ como un espacio Euclidiano $\mathbb{R}^n$ con un "límite de la esfera" $S^{n-1}$ en el infinito. Esto es una cosa razonable para pensar ya que suelen considerar un UV cut-off y considerar el límite de esta corte se extiende hacia el infinito. (Esto es sólo la forma ordinaria de pensar acerca de las integrales sobre noncompact espacios.)

Este término es cero cuando asumimos que la acción decae con la rapidez suficiente como $\phi$ crece grande. Este supuesto es necesario para su argumento para trabajar.

Espero que esto ayude. Siempre he sido un poco cansado sobre estos integración por partes los argumentos de mí mismo. Supongo que la física textos como estos, siempre asumir Stokes, de la ley de obras.

Este tipo de argumentos puede ser sutil cuando el objetivo de la $\phi$ no es un contráctiles espacio como $\mathbb{R}^n$. Por ejemplo, si $\phi$ es un mapa de$\mathbb{R}^4$$SU(2)$, que es topológicamente una 3-esfera, no son topológicamente trivial límite de configuraciones para $\phi$ marcados por $\pi_3(SU(2))=\mathbb{Z}$ . Este es el caso cuando uno ha de Yang-Mills instantons.

Uno debe ser cuidadoso de curso cuando el espacio-tiempo tiene límite. Por ejemplo, cuando se calcula un propagador, tenemos un espacio-tiempo que se parece a un tubo: $M \times \mathbb{R}$, y usamos la condición límite de que en uno de los extremos del tubo, tenemos un estado y en el otro extremo tenemos a otro estado. A continuación, la ruta integral calcula el propagador entre los estados.