¿Qué podría utilizar para demostrar que una función entera con partes reales positivas es constante?

Question

Así que la pregunta me pide que demuestre que una función entera con partes reales positivas es constante, y estaba pensando que esto podría estar relacionado de alguna manera con demostrar que una función entera acotada es constante (teorema de Liouville), pero ¿hay algún otro teorema que pueda ayudarme a demostrar este hecho?

Answer 1

Las otras tres respuestas me parecen exageradas.. Simplemente considere $e^{-f}$ si $f$ es su función. ¿Está acotada?

Answer 2

No es un polinomio no constante, por el teorema fundamental del álgebra. No tiene una singularidad esencial en el infinito, por el teorema de Casorati-Weierstrass. ¿Qué otras posibilidades existen?

Alternativamente, si añade $1$ se obtiene una función que satisface $|g(z)|\geq 1$ para todos $z$ . ¿Qué se puede decir de la recíproca de $g$ ?

Answer 3

Bueno, ¿no podemos decir que, ya que $-f(z)$ está entero, $e^{-f(z)}$ también es entero, y si escribimos

$f(z) = u(z) + iv(z), \tag{1}$

donde $u(z)$ , $v(z)$ son las partes real e imaginaria (armónicas) de $f(z)$ (para que $u(z) = Re \; f(z)$ ), entonces

$\vert e^{-f(z)} \vert = \vert e^{-u(z) - iv(z)} \vert = \vert e^{-u(z)} \vert \vert e^{-iv(z)} \vert = e^{-u(z)}, \tag{2}$

desde

$e^{-u(z)} > 0 \tag{3}$

y

$\vert e^{-iv(z)} \vert = \vert \cos (-v(z)) + i\sin (-v(z)) \vert = 1; \tag{4}$

pero $-u(z) < 0$ por hipótesis; así $e^{-u(z)} < 1$ de donde $e^{-f(z)}$ es una función entera acotada, por tanto constante; por tanto $f(z)$ debe ser a su vez una constante. QED.

¿No podemos decir eso? Creo que sí.

Answer 4

Las otras dos respuestas ya son excelentes, pero si realmente quieres usar la artillería pesada, utiliza Pequeño teorema de Picard - observando que el semiplano está formado por más de dos puntos.

Answer 5

¿Has aprendido el teorema del mapa de Riemann? Si es así, ¿qué puedes hacer con la imagen de esta función entera? Recuerda que la composición de funciones analíticas es analítica. El teorema de Liousville debería terminar el problema.