¿Cómo puedo extraer uniformemente una matriz ortogonal compleja aleatoria$\Omega\in O(3,\mathbb{C})$? Es fácil encontrar en la literatura la medida uniforme para matrices unitarias y reales, pero no pude encontrar nada sobre el caso complejo. ¡Gracias por tu ayuda!
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John Hughes
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Un complejo ortogonal $3 \times 3$ matriz tiene tres vectores unitarios, como sus columnas. Dicen que uno de ellos es \begin{align} \begin{bmatrix} a_1 + i b_1\\ a_2 + i b_2\\ a_3 + i b_3 \end{bmatrix} \end{align} Decir que son vectores unitarios significa que $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 1$. De modo que el vector de \begin{align} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ b_1\\ b_2\\ b_3 \end{bmatrix} \end{align} es un vector unitario en $\mathbb R^6$, es decir, un punto de $S^5$.
Para elegir la primera columna de $u_1$ de su matriz, usted puede elegir de manera uniforme en $S^5$, y, a continuación, convertir desde allí a $C^3$. Claro?
Para su segundo vector, usted puede elegir cualquier otro vector en $S^5$. Usted puede imaginarse $S^5$ como $S^2$, donde el eje norte-sur, y luego el círculo ecuatorial. Polar coords medir "¿a qué distancia a lo largo de la NS eje que son" (típicamente $z = \sin \phi$, al menos en los libros de matemáticas), con la no-phi parte de la polar coords decirle dónde usted está en el círculo ecuatorial. Tal vez expresado mejor: tomar un punto de manera uniforme sobre la esfera y el proyecto a lo largo de la $z$ eje a un punto de la unidad de disco, después de lo cual usted puede proyectar "fuera" de la línea ecuatorial, a menos que usted empezó en el norte o el polo sur. El resultado de la distribución en la zona ecuatorial del círculo será uniforme.
Del mismo modo, en $S^5$, se puede elegir un punto de manera uniforme sobre la esfera, ignorar el pasado de coordenadas para llegar a un punto en el 5-ball, y (a menos que el punto original fue la N o S polo), proyecto radial para llegar a un punto en $S^4$, distribuidos de manera uniforme.
No hay nada especial sobre el N/S eje de aquí. En su lugar, podríamos hacerlo utilizando la línea en la dirección $u_1$, y el proyecto en el ámbito perpendicular a dicha línea. Cómo? Pick $v$ uniformemente en $S^5 \subset C^3$. Vamos $$ w_2 = v - (u_1 \cdot v) u_1\\ u_2 = w_2 / \| w_2 \|. $$ Aquí el "\cdot" significa "el producto escalar en $C^3$", por lo que terminamos con $u_2 \cdot w_2 = 0$$C^3$.
Ahora $u_2$ es un vector ortogonal a $u_1$, y distribuidos de manera uniforme entre todos los vectores (creo). Si en el momento de calcular $w_2$, se obtiene el vector cero (una probabilidad cero evento!), escoja a otro $v$ e inténtelo de nuevo.
Por último, elige otro $v$ uniformemente en $S^5$ y, a continuación, calcular $$ w_3 = v - (u_1 \cdot v) u_1 - (u_2 \cdot v) u_2 \\ u_3 = w_3 / \| w_3 \|. $$ La matriz con columnas $u_1, u_2, u_3$ ahora serán distribuidos de manera uniforme en $O(3, C)$, creo.
mrf1g12
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He intentado utilizar la parametrización de los $SO(3)$, $$ R=R_{12}(\phi)R_{13}(\theta)R_{23}(\psi), $$ donde $R$ son matrices de rotación, lo que da la medida de Haar $$ d\!\el pecado(\theta)\, d\phi\, d\psi. $$ En el caso complejo, traté de complexifying la parametrización, asumiendo $\phi$, $\theta$ y $\psi$ son complejos ángulos. Sin embargo, incluso si me extracto complejo $\phi$, $\psi$ y $\sin(\theta)$, obtengo diferentes distribuciones de probabilidad de las diferentes entradas del complejo resultante ortogonal de la matriz. Por esta razón creo que esto no es aún la forma de extraer de manera uniforme en $O(3,\mathbb{C})$.
