Prove$\gcd(a+b,a^2+b^2)$ es$1$ o$2$ si$\gcd(a,b) = 1$

Question

Suponiendo que$\gcd(a,b) = 1$, pruebe que$\gcd(a+b,a^2+b^2) = 1$ o$2$.

Intenté este problema y terminé con
$$d\mid 2a^2,\quad d\mid 2b^2$ $ Donde$d = \gcd(a+b,a^2+b^2)$, pero entonces estoy atascado; Por estas dos conclusiones, ¿cómo puedo concluir$d=1$ or$2$? ¿Y también hay otra manera de probar este resultado?

Answer 1

De lo que has encontrado, puedes concluir fácilmente.

Si$d$ divide dos números, también divide su gcd, así que

ps

Por lo tanto,$$d| \gcd (2a^2,2b^2) = 2 \gcd (a,b) ^2 =2.$ es un divisor de 2 y por lo tanto 1 o 2.

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Answer 2

Si$d$ divide$a+b$ entonces divide$a(a+b)=a^2+ab$ así que si también divide$a^2+b^2$ entonces divide$a^2+ab-(a^2+b^2)=ab-b^2=b(a-b)$. Un cálculo similar muestra que divide$a(a-b)$. Luego de$\gcd(a,b)=1$ obtenemos$d$ divide$a-b$. Pero luego divide$(a+b)+(a-b)=2a$ y$(a+b)-(a-b)=2b$, por lo que es 1 o 2.