Cómo calcular la transformada de Laplace para $\log x$ ?

Question

Estaba mirando una tabla de transformadas de Laplace comunes de funciones cuando me encontré con la transformada de $\log x$ . Aparentemente, la transformación es la siguiente:

$$\mathcal{L} \left\{ \log x\right\}=-\frac{1}{s}\left(\log s + \gamma\right)$$

donde $\gamma$ es la constante de Euler.

Claramente, porque $\gamma$ está presente, la integral

$$\mathcal{L} \left\{ \log x\right\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\log t dt$$

debe convertirse en una suma en algún momento. Esta integral también se parece mucho a

$$\Gamma'(1)=\int_{0}^{\infty} e^{-t}\log t dt=-\gamma$$

¿Cómo debería $\mathcal{L} \left\{ \log x\right\}$ ¿se puede resolver?

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Aquí está mi intento:

Dejar $u=st \Rightarrow t =\frac{1}{s}u \Rightarrow dt = \frac{du}{s}$ por lo que tenemos

$$ \mathcal{L} \left\{ \log x\right\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\log t \, dt= \frac{1}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-u}\log (\frac{1}{s}u)du = \frac{1}{s} (\int_{0}^{\infty} e^{-u}\log u\, du -\log s\int_{0}^{\infty} e^{-u}\, du)=\frac{1}{s}(\log s-\gamma) $$

Debo haber cometido un error aquí pero no lo encuentro.

Answer 1

La transformada de Laplace de la función potencia es:

$$ \int_0^\infty e^{-st} t^a dt = \frac{\Gamma(a+1)}{s^{a+1}} $$

Diferenciar con respecto a $a$ utilizando diferenciación bajo el signo integral :

$$ \int_0^\infty e^{-st} t^a \log{t} dt = \frac{\Gamma'(a+1) s^{a+1} - \Gamma(a+1) s^{a+1} \log{s}}{(s^{a+1})^2} = \frac{\Gamma'(a+1) - \Gamma(a+1) \log{s}}{s^{a+1}} $$

Ahora, conecte $a = 0$ para conseguir lo que quieres.

Answer 2

$$\frac{1}{s} (\int_{0}^{\infty} e^{-u}\log u\, du -\log s\int_{0}^{\infty} e^{-u}\, du)=\frac{1}{s}(\log s-\gamma)$$ Debo haber cometido un error aquí pero no lo encuentro.

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La evaluación de la integral debe ser positiva e igual a uno: $$I=\int_0^\infty e^{-u}du=\left |-e^{-u} \right |_0^\infty=1$$ $$\implies \frac {-\log s}{s}\int_0^\infty e^{-u}du=\frac {-\log s}{s}$$ $$\mathcal{L}\{\log x\}=-\frac{1}{s}(\log s+\gamma)$$

Answer 3

El único error que has cometido es en el último paso, has escrito log(s) en lugar de -log(s). Resuelve la última integral con cuidado, te falta el signo negativo y de ahí la variación en la respuesta