Esta es una respuesta abundando en mi comentario anterior, y en gran medida a abordar el
modificaciones a la pregunta original:
Yo no pienso que haya ningún "técnicas antiguas" antes de Hermite demostrado
la trascendencia de $e$ a principios de la década de 1870. Hasta donde yo sé, el único trascendental números conocido antes eran de Liouville es muy interesante, pero
algo artificial ejemplos de principios de ese siglo.
El tema de la trascendencia, y los relacionados con el tema de Diophantine aproximación (es decir, la aproximación de números irracionales, especialmente irracional algebraico números, racionales), es relativamente nueva. Liouville demostrado los primeros resultados que muestran que no es tan fácil para aproximar la irracionales algebraicas número racional, y lo utilizó para construir su trascendental números, que él podría reconocer como ser trascendental, debido a que están muy bien aproximada por los números racionales. ("Demasiado bien" y "no es tan fácil" aquí se refiere a el siguiente problema: si se intenta aproximar $\alpha$ por el número racional $p/q$, se puede obtener dentro de una distancia de $O(q^{-n})$ para un determinado $n$ mientras que el denominador $q$ ser arbitrariamente grande. (El mayor $n$, el menor $q^{-n}$ es, y lo mejor de la tasa de aproximación.) Liouville mostró, mediante la encasillar principal, más o menos, que si $\alpha$ es algebraicas de grado $d$, entonces usted no puede hacer mejor que $n = d$.)
Pero esto deja abierto el problema de mostrar que los diferentes números (como $e$$\pi$) son trascendentales.
Si te gusta, aquí es una manera de pensar el problema: si desea mostrar que $\alpha$ es trascendental, entonces
quiere mostrar que $f(\alpha) \neq 0$ por el no-cero del polinomio $f$
con coeficientes racionales. La dificultad es que habrá un montón de polinomios con coeficientes reales que han $\alpha$ como una raíz, y cualquiera de ellos puede ser aproximada tan de cerca como te gusta por una $f$ con coeficientes racionales, por lo que nos podemos encontrar (mucho!) $f$ con coeficientes racionales tales que $f(\alpha)$ es lo más cercano a cero, como nos gusta.
Así que usted tiene que encontrar la manera de precisar la diferencia entre el $f(\alpha)$ cero y $f(\alpha)$ está muy cerca de cero. Esto no es tan fácil!
(Por ejemplo, de cómputo, usted no puede decir la diferencia entre el $0$ y cualquier número real que es más pequeño que la precisión de cálculo puede reconocer.)
Y ahora uno ve por qué Diophantine aproximación a las ideas de los tipos mencionados anteriormente
son relevantes. Están relacionadas con la cuantificación de lo cerca que puede hacer $f(\alpha)$ a cero, mientras que la delimitación de la denominadores de los números racionales involucrados.
No es casualidad que la delimitación de la denominadores es relevante: moralmente este es un intento de pasar de trabajar a través de $\mathbb Q$ a un trabajo de más de $\mathbb Z$.
¿Por qué queremos hacerlo? Bien, como ya he mencionado, es muy difícil decir la diferencia entre el$\mathbb Q$$\mathbb R$, puesto que el primero es denso en el último, pero nos puede decir la diferencia entre el$\mathbb Z$$\mathbb R$, puesto que el primero es discreto: un entero distinto de cero es definitivamente positivo de la distancia (es decir, al menos 1), lejos de la $0$.
Las observaciones anteriores son algo filosófico, y son el reflejo de mi (limitada) de la experiencia de pensar acerca de estos tipos de preguntas. Si usted mira las pruebas en el enlace de arriba, puede que no sea obvio que no son relevantes, pero creo que ellos en realidad tienen una cierta relevancia: por ejemplo, usted verá que los argumentos se reducen a considerar entero, más que racionales de polinomios, y que el crecimiento de las consideraciones de jugar un papel clave. Otra cosa que veo es que ciertos auxiliares de los polinomios de entrar en la prueba, y un hecho clave acerca de ellos es que tienen un alto orden de la desaparición de sus ceros. La aparición de la auxiliar de polinomios, a menudo con un alto orden de fuga, es omnipresente en esta teoría.
Uno más (algo cultural) nota:
Roth del teorema, para la cual obtuvo la medalla Fields, es el último refuerzo de la del teorema de Liouville: señala que si $\alpha$ es irracional algebraico, entonces uno no puede hacer mejor que $O(q^{-2})$ en el problema de Diophantine aproximación se discutió anteriormente. La prueba implica (entre otras cosas) las construcciones auxiliares de polinomios. Así que mi impresión es que de Liouville, Hermite, y Lindemann (y probablemente hay otros nombres que deberían estar aquí) inventó un nuevo tema, a saber, Diophantine la aproximación y la trascendencia de la teoría, cuyos métodos modernos son una consecuencia de los métodos que se introdujo.
P. S. la Lectura de las primeras páginas de Baker libro Trascendental de la Teoría de números
(Búsqueda de Libros de Google link) podría ayudar.
