¿Cuál es la justificación del método de las imágenes en la electrostática?

Question

El método de carga de imágenes es una herramienta conocida y muy útil para resolver problemas de electrostática.

Lamentablemente, cuando me enseñaron este método, lo presentaron simplemente como un algoritmo. No se daba ninguna justificación física real para su uso, y había una ausencia total de matemáticas rigurosas. Desde entonces, el método me resulta un poco confuso.

Si alguien pudiera dar una derivación rigurosa de primeros principios de este método a partir de las ecuaciones de Maxwell (¿tal vez simplemente la ley de Coulomb?), sería muy apreciado.

Answer 1

En la electrostática, queremos resolver Ecuación de Poisson para el potencial eléctrico $\Phi$ .

$$\nabla^2 \Phi = 4 \pi \rho$$

Tomemos, por ejemplo, el espacio libre, así $\rho = 0$ . La ecuación resultante es Ecuación de Laplace

$$\nabla^2 \Phi = 0$$

Hay muchas soluciones, por ejemplo $\Phi = 0$ o $\Phi = \Phi_0 e^{k(ix+y)}$ u otros. Además, si $\Phi_1$ y $\Phi_2$ son ambas soluciones, entonces $\alpha \Phi_1 + \beta \Phi_2$ también es una solución.

La ecuación de Poisson tiene la misma dificultad. Si tienes cualquier solución de la ecuación de Poisson, puedes añadir cualquier solución a la ecuación de Laplace y obtener una nueva solución.

Si alguien dijera: "Acabo de lanzar una pelota; prediga su ubicación en función del tiempo", nos encontraríamos en una situación similar. Podríamos determinar una ecuación diferencial que describa el movimiento de la pelota, pero hay muchas soluciones, y no podríamos encontrar la trayectoria sin saber desde dónde se lanzó la pelota y cuál fue su velocidad inicial. Estas son las condiciones de contorno. Toman una ecuación diferencial con muchas soluciones y las reducen a una solución físicamente correcta.

En el caso de la ecuación de Poisson, un conjunto suficiente de condiciones de contorno es el potencial en cualquier lugar de la frontera del área que estamos estudiando. El "límite" puede ser un infinito, si queremos.

Por ejemplo, si hay un conductor conectado a tierra, establecemos $\Phi = 0$ en todas las partes de ese conductor, y a continuación, establecer $\Phi = 0$ en el infinito. Si podemos encontrar cualquier solución de la ecuación de Poisson que también satisfaga estas dos condiciones de contorno, será la única solución, y conoceremos el potencial en todas partes fuera del conductor.

Para demostrar este teorema de unicidad, imaginemos que hay dos soluciones, $\Phi_1$ y $\Phi_2$ a la ecuación de Poisson. Entonces $\Phi_3 = \Phi_1 - \Phi_2$ es una solución de la ecuación de Laplace, y tiene $\Phi_3 = 0$ en todos los límites. Cualquier solución de la ecuación de Laplace no tiene mínimos ni máximos locales por lo que los extremos deben ocurrir en los boudaries. Ya que todos los límites son cero, $\Phi_3 = 0$ y $\Phi_1 = \Phi_2$ .

Consideremos ahora la aplicación más sencilla del método de las imágenes. Existe una lámina conductora infinita conectada a tierra y una carga puntual $q$ sentado encima a distancia $d$ . Necesitamos encontrar cualquier solución de la ecuación de Poisson tal que $\Phi = 0$ en el infinito y a lo largo de la hoja.

Descarta la hoja momentáneamente, y considera otra carga de puntos $-q$ a distancia $2d$ de la primera, de modo que se parezca a su imagen en el espejo, con el plano donde estaba el conductor sirviendo de espejo (la carga puntual original está por encima del plano; la nueva está por debajo del plano a igual distancia).

Imagina una carga de prueba situada en el plano entre las dos cargas espejo. Como las cargas espejo tienen signos opuestos, la fuerza neta sobre la carga de prueba no tiene componente en el plano. Esto significa que el plano es una superficie equipotencial, y que la carga puntual puede desplazarse gratuitamente hasta el infinito, donde el potencial es claramente nulo. Por lo tanto, el potencial es cero en el infinito y a lo largo del plano. El $\Phi$ que se obtiene en este escenario es fácil de calcular porque es sólo el potencial de dos cargas puntuales, sin embargo, debido a que cumple con las condiciones de contorno, es también el potencial que surge de una carga puntual sentada sobre un conductor.

Este método de imágenes no es muy general. Funcionará siempre que se te ocurra una forma inteligente de establecer una carga imagen de forma que el potencial con la carga original y la carga imagen satisfaga las mismas condiciones de contorno que tu problema original. No siempre podrás encontrar una forma de hacerlo. En un caso general, tendrás que utilizar funciones de Green o métodos de solución numérica.

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Referencia: Esto es principalmente del capítulo 3 de la obra de David Griffiths Introducción a la electrodinámica

Answer 2

Creo que la respuesta de Mark es muy buena - y de hecho, el artículo de Wikipedia que has citado tampoco está mal. Pero déjame simplificarlo un poco:

La tarea en la que el método es útil es encontrar el campo eléctrico creado por cargas y planos conductores planos (o rectos) o esféricos (o circulares) - o geometrías más generales en las que el método sigue funcionando pero que es poco probable que se encuentren "naturalmente".

El campo eléctrico tiene que satisfacer las condiciones habituales, $\mbox{div}(\vec D)=\rho$ y $\mbox{curl}(E)=0$ . En la superficie del conductor, $\vec{E}$ tiene que ser perpendicular a la superficie.

¿Cuál es el campo inducido por una configuración de cargas y un plano conductor infinito? Es fácil. Basta con poner cargas en el espejo al otro lado de la superficie del plano conductor: tienen los signos opuestos de la carga y se sitúan igual que las imágenes en el espejo.

Se trata de una solución -y por su singularidad, la única solución- al problema original porque $\mbox{div}(\vec D)=\rho$ en la parte física del espacio donde se encuentran las cargas. La divergencia del campo eléctrico también contiene términos que son distintos de cero en la parte no física del espacio, detrás del espejo, pero de todas formas no nos fiamos de nuestra solución allí. La sustituimos por $\vec{E}=0$ allí porque es un director de orquesta.

La comprobación más importante es que el campo eléctrico construido como la suma de las cargas reales y sus imágenes es perpendicular a la superficie del plano conductor. Eso se ve fácilmente porque las líneas de campo de la configuración de las cargas son simétricas con respecto al plano de la superficie del conductor, por construcción.

Así que se tiene la divergencia y el rizo correctos del campo eléctrico en la parte física del espacio - y las condiciones de contorno correctas en su frontera, a saber, la perpendicularidad de $\vec{E}$ .

La única otra generalización sencilla de este método implica superficies esféricas (o circulares, en problemas 2D) del conductor. Las cargas de los espejos se sitúan de nuevo en algún lugar. Su carga tiene una magnitud diferente, la ubicación tiene que ser calculado, pero cuando lo haces bien, seguirá siendo cierto que el campo eléctrico será perpendicular a la superficie esférica o circular del conductor.

La forma más fácil de entender por qué funcionan las matemáticas es aprender algo de simetría conforme. Por medio de transformaciones conformacionales, el plano del problema más simple del "espejo plano" puede ser mapeado a un plano esférico. Las ubicaciones y magnitudes de las cargas y las cargas del espejo también se transforman de forma calculable, lo que nos permite resolver un conjunto más amplio de problemas.

En principio, se puede generalizar el método a geometrías más complicadas de la superficie del conductor -pueden necesitarse configuraciones más complicadas de las cargas y pueden ser útiles transformaciones más complicadas (especialmente en 2D) para encontrarlas; y el problema también puede generalizarse a problemas con otras condiciones de contorno en la superficie -pueden requerirse diferentes componentes de los campos para que desaparezcan. El conjunto de todas las aplicaciones y generalizaciones posibles no se puede "clasificar del todo": es importante entender realmente por qué y cómo funciona el método y luego se puede aplicar cuando se quiera.

Answer 3

Las respuestas dadas hasta ahora son muy buenas, pero quiero añadir algo que podría ayudar. El método de las imágenes comienza tratando de derivar Ley de Coulomb. La ley de Coulomb es la función de Green de la ecuación de Laplace. Su forma general es:

\begin{equation} G(\mathbf{x},\mathbf{x}^{\prime})=\frac{1}{R}+F(\mathbf{x},\mathbf{x}^{\prime}) \end{equation}

donde $F$ es una función que satisface la ecuación de Laplace en su dominio. En el caso de que el dominio se extienda hasta el infinito y el potencial caiga rápidamente, $F=0$ y tienes la habitual ley de Coulomb. Sin embargo, en el caso de un dominio limitado por conductores (bueno, cualquier condición de contorno para la cual la solución existe y es única servirá, sólo estoy usando el caso usual), donde tienes $G=0$ en la frontera, $F$ tendrá que ajustarse para que se cumpla esta condición.

Ahora viene la interpretación física: ya que $F$ satisface la ecuación de Laplace dentro de su dominio, pero no fuera, se puede interpretar como el potencial debido a un sistema de cargas fuera de sus límites. Y esas son exactamente las cargas de la imagen.

Puede encontrar más detalles en Jackson, Electrodinámica clásica . Sección 1.10: Solución formal de problemas electrostáticos de valores límite con función de Green.

Answer 4

Aprovecha que la solución es único y fijado por las condiciones de contorno.

• Cualquier solución es el solución.

y

• Cualquier solución que consiga las condiciones de contorno correctas es a solución.