$\prod_{i=1}^{\infty}{1+(\frac{k}{i})^3}$ Para entero k

Question

¿Puede alguien calcular$$\prod_{i=1}^{\infty}{1+(\frac{k}{i})^3}$$ for integer k? Can it be done in closed form, using only elementary functions, without the use of the Gamma function? For k=1, the closed expressions are known to include $ \ cosh (.)$ and $ \ Pi $.

Espero usar este día para encontrar una expresión cerrada de$\zeta(3)$. Si pudiéramos calcular$$\prod_{i=1}^{\infty}{1+(\frac{z}{i})^3}$$ for complex z, it follows that $ \ zeta (3)$ is the coefficient for $ z ^ 3 $ en su expansión.

Answer 1

Aquí está un formulario cerrado para el producto

ps

Donde$$ {\frac {1}{{z}^{2}\Gamma \left( z+1 \right) \Gamma \left( -\frac{z}{2}-\frac{iz\sqrt {3}}{2} \right) \Gamma \left( -\frac{z}{2}+\frac{iz\sqrt {3}}{2} \right)}},\quad i=\sqrt{-1},$ es la función gamma.

Answer 2

Justo como una adición al comentario de Robert Israel. La expansión de Taylor de la fórmula dada en la respuesta de Mhenni Benghorbal es$$1+\zeta (3) z^3 + \left(\frac{\zeta (3)^2}{2}-\frac{\pi ^6}{1890}\right)z^6+(\frac{1}{6} \left(\zeta (3)^3+2 \zeta (9)\right)-\frac{\pi ^6 \zeta (3)}{1890})z^9 +O\left(z^{12}\right)$ $ que encuentro bastante agradable.