Variación del postulado vielbein

Question

El vielbein postulado está dada por

$$\partial_\mu e_\nu{}^a + \omega_\mu{}^a{}_b e_\nu{}^b - \Gamma_{\mu\nu}^\rho e_\rho^a = 0 $$

cuya anti-simétrica parte, suponiendo que la conexión de Levi-Civita de conexión, lee

$$2\partial_{[\mu} e_{\nu]} - 2\omega_{[\mu}{}^{ab}{} e_{\nu ]b} = 0 $$

La solución de esta ecuación da lugar a una ecuación para el spin-conexión de $\omega_\mu{}^{ab}$ en términos de $e_\mu{}^{a}$.

Como se hace el "vielbein postulado", o la parte antisimétrica de la vielbein postulado, se debe tener cuidado con la variación de este postulado. La variación del postulado también debe desaparecer de lo contrario, se produciría una restricción. Las reglas de transformación para la vielbein y la vuelta de conexión son

$$ \begin{align} \delta e_\mu{}^a &= \partial_\mu \xi^a + \omega_\mu{}^{ab} \xi_b - \lambda^{ab} e_{\mu b}\\ \delta \omega_\mu{}^{ab} &= \partial_\mu \lambda^{ab} + \omega_{\mu c}{}^{[a} \lambda^{b]c} \,. \end{align} $$

donde $\xi_a$ $\lambda_{ab}$ son los parámetros de la transformación de aumentos y transformaciones de Lorenz. La transformación de la antisymmetrized vielbein postulado, a continuación, lee

$$\xi_\nu R_{\rho\sigma}{}^{\mu\nu} = 0$$

siempre que el vielbein postulado está satisfecho. Aquí $R_{\mu\nu\rho\sigma}$ es el tensor de Riemann. Nunca he visto una identidad. Mi pregunta es: ¿alguien Ha visto algo como esto? O me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Si entiendo su notación correctamente, su vielbein postulado es simplemente una expresión de la métrica de compatibilidad de la conexión en la que la conexión en el marco de paquete es compatible con la conexión en el conjunto de ortonormales marcos.

Con esto quiero decir que si $e^a = e_\nu{}^adx^\nu$ etiquetas co-tetrad uno-formas tales que $e_\nu{}^a$ son sus funciones de los componentes en la holonomic (coordenadas) de marco, que $\Gamma^\rho_{\mu\nu}$ son los holonomic conexión de los coeficientes, y que $\omega^a{}_b = \omega_\mu{}^a{}_bdx^\mu$ etiquetas de la conexión de las formas de la tetrad, entonces $$\nabla e^a = -\omega_\mu{}^a{}_bdx^\mu \otimes e^b = -\omega_\mu{}^a{}_b e_\nu{}^bdx^\mu \otimes dx^\nu, \tag{1}$$ por definición, pero en el holonomic cuadro: $$ \nabla e^a = \nabla \left(e_\nu{}^dx^\nu\right) = \left(\partial_\mu e_\nu{}^a - \Gamma^\rho_{\mu\nu}e_\rho{}^a \right)dx^\mu \otimes dx^\nu, \etiqueta{2} $$ y ya que las conexiones son compatibles debemos tener $(1) = (2)$. Esto no es un postulado, sino una identidad, y los rendimientos exactamente su "vielbein postulado."

En el antisimétrica expresión parece que tienes (erróneamente) cambiado de signo en el término perteneciente a la conexión en ortonormales marcos, pero por lo demás es una expresión de la misma compatibilidad, que se expresa comúnmente como el primer Cartan ecuación: $$ de^a = e^b \wedge \omega^{} _b. $$

Ambas expresiones por lo tanto puede ser visto de identidades para la métrica compatible con las conexiones. Yo también creo que es imprudente etiqueta $\omega_\mu{}^{ab}$ un "giro" de la conexión, ya que es una conexión en el conjunto de ortonormales marcos (compatibles con el marco de paquete), no en el conjunto de la vuelta de marcos.

De esto resulta claro que la identidad $$\xi_\nu R_{\rho\sigma}{}^{\mu\nu} = 0 \tag{0}$$ debe estar mal, ya que el "vielbein postulado" no aporta nada nuevo, y $(0)$ no es cierto en general.

Este papel pasa a través de un esfuerzo significativo para explicar los detalles de la relación entre las conexiones en relación a la "vielbein postulado," y es publicado en Revista Internacional de la Física Moderna D, por lo que debe contar como de buena reputación, pero podría ser un poco sarcástico, a veces.