Problema de compactificación de Piedra-Cech

Question

¿Cómo mostramos lo siguiente?

Sea$X$ un espacio topológico y deje que$x \in X$. Muestre que si$x$ tiene una base de barrio contable en$X$, entonces$x$ tiene una base de barrio contable en$\beta X$. Aquí$\beta X$ denota la compactificación Stone-Cech de$X$.

Answer 1

Si $X$ es localmente compacto, entonces es fácil, ya que la $X$ está abierto en $\beta X$, por lo tanto la base de la $x$ $X$ es también una base en $\beta X$.

He aquí un argumento para el normal espacios (usando mi favorita de las muchas caracterizaciones de $\beta X$ (para el normal espacios):

Vamos a definir las $\beta X$ como el espacio de ultrafilters en el álgebra de subconjuntos cerrados de $X$. Es decir, un elemento de $\beta X$ es un conjunto maximal $\mathfrak{a}$ de conjuntos cerrados es cerrada bajo intersecciones finitas y de tal manera que si $f\in\mathfrak{a}$ $g\supseteq f$ está cerrada,$g\in\mathfrak{a}$. Una base para los conjuntos cerrados se compone de conjuntos de la forma $F_f=\{\mathfrak{a}\in\beta X : f\in\mathfrak{a}\}$ para los conjuntos cerrados $f\subseteq X$ (es decir, los conjuntos cerrados son las intersecciones de dichas $F_f$s.) Por último, definir la incrustación $X\to\beta X$ dejando $\hat{x}=\{f\subseteq X:x\in f\}$.

Ahora, supongamos que el $\{U_n\}_{n\in\omega}$ es una base local en$x$$X$. Entonces $\{Z_n\}_{n\in\omega}$ donde $Z_n=X\setminus U_n$ es un local cerrado base en $x$, lo que significa que $x\notin Z_n$ todos los $n$ e si $f\subseteq X$ es cualquier conjunto cerrado con $x\notin f$, entonces hay un $n$$f\subseteq Z_n$.

Ahora me reclama que $\{F_{Z_n}\}_{n\in\omega}$ es una base cerrada en$\hat{x}$$\beta X$. Para, vamos a $A\subseteq\beta X$ ser cerrado con $\hat{x}\notin A$. Así que hay un poco cerrado $f\subseteq X$$\hat{x}\notin A_f$$A\subseteq A_f$. Esto implica que $x\notin f$ por lo tanto $f\subseteq Z_n$ algunos $n$. Pero $x\notin Z_n$$\hat x\notin F_{Z_n}$$F_{Z_n}\supseteq F_f\supseteq A$.