Sumado indefinido de polinomios

Question

He estado experimentando con la suma de polinomios. Mi línea de ataque es para tratar el tema de la manera en que lo haría para el cálculo, pero no el uso de límites.

Por medio de un ejemplo muy sencillo, supongamos que desea agregar a la de todos los números entre el $10$ $20$ inclusive, y encontrar un polinomio que puedo conectar los números en conseguir mi respuesta. Sospecho que su alguna forma de polinomio con grado de $2$. Así que hacer un entero 'diferenciación': $$ \mathrm{diff}\left(x^{2}\right)=x^{2}-\left(x-1\right)^{2}=2x-1 $$

Puedo ver a partir de esto que yo casi tengo mi respuesta, así, suponiendo una relación inversa entre la "integración" de la operación y volver a organizar: $$ \frac{1}{2}\mathrm{diff}\left(x^{2}+\mathrm{int}\left(1\right)\right)=x $$

Ahora, yo sé que la 'primitiva' de la 1 es simplemente x, de 'diferenciación' $x-(x-1) = 1$. Así que en última instancia: $$ \frac{1}{2}\left(x^{2}+x\right)=\mathrm{int}\left(x\right) $$

Así que para obtener mi respuesta me tome la 'definitiva' de la integral: $$ \mathrm{int}\left(x\right):10,20=\frac{1}{2}\left(20^{2}+20\right)-\frac{1}{2}\left(9^{2}+9\right)=165 $$ (el límite inferior de las necesidades de la disminución por uno)

Mi pregunta es, hay una manera general puedo 'integrar' cualquier polinomio, en este camino?

Por favor, disculpe mi falta de rigor y la extraña notación.

Answer 1

Para cualquier polinomio no hay una manera más fácil de hacer indefinido suma que el uso de los números de Bernoulli, ir de Greg Gravitón la respuesta. Aquí vamos a utilizar el avance de la diferencia de $\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$. Entonces

$\displaystyle \Delta {x \choose n} = {x \choose n-1}.$

Esto implica que podemos llevar a cabo una "expansión de Taylor" en cualquier polinomio de escribir en el formulario de $f(x) = \sum a_n {x \choose n}$ mediante la evaluación de las diferencias finitas $\Delta^n f(0)$ a cero. Para cualquier polinomio $f$ es fácil escribir estas diferencias finitas hacia abajo por la construcción de una tabla. En general, la fórmula es

$\displaystyle a_n = \Delta^n f(0) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} {n \choose k} f(k)$

como fácilmente se puede probar por la escritura $\Delta = S - I$ donde $S$ es el operador de desplazamiento a la $S f(x) = f(x+1)$ $I$ es la identidad del operador $I f(x) = f(x)$. A continuación, el indefinido suma de $f$ es sólo $\sum a_n {x \choose n+1}$. Esta es la forma más sencilla sé cómo hacer los cálculos a mano, y también conduce a una bastante fácil método para el polinomio de interpolación de los valores de un polinomio en números enteros consecutivos.

Answer 2

Usted parece estar llegando para el cálculo de las diferencias finitas, una vez conocido el tema, sino más bien de moda en estos días. La respuesta a tu pregunta es sí: dado un polinomio $f(x)$ no es un polinomio $g(x)$ (de grado uno mayor que $f$) tales que $$f(x)=g(x)-g(x-1).$$ Este polinomio se $g$ (como la integral de la $f$) es único para guardar su término constante. Una vez que uno ha $g$ luego de curso $$f(a)+f(a+1)+\cdots+f(b)=g(b)-g(a-1).$$

Al $f(x)=x^n$ es un monomio, los coeficientes de de $g$ implicar la infinitamente fascinante números de Bernoulli.

Answer 3

Sus "diferencias" se llama en realidad (hacia atrás) de las diferencias finitas.

\begin{align} \nabla_1 [ P ](x) &= P(x) - P(x-1) \\ &= P(x-1+1) - P(x-1) \\ &= \Delta_1[ P ](x-1) \end{align}

A la inversa, el avance de las diferencias finitas se llama indefinido suma. Extraído de la Wikipedia, la utilidad de las fórmulas para polinomios es:

\begin{align} \Delta^{-1}_1 x^n &= \frac{B_{n+1}(x)}{n+1} + C \\ \Delta^{-1}_1 af(x) &= a \Delta^{-1}_1 f(x) \end{align}

(B_n+1(x) es el polinomio de Bernoulli.)

La Δ^-1 se puede convertir de nuevo a su "int" sustituyendo $x \mapsto x + 1$.

Answer 4

Como han notado otras respuestas , estás a punto de descubrir el cálculo de las diferencias finitas .

Para cálculos prácticos, aquí un hecho muy útil: la regla

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