Divisibilidad de polinomios en un subcampo de un campo.

Question

Intento demostrar la siguiente afirmación:

Dejemos que $K\subset L$ sean campos, y que $f,g\in K[x]$ sea tal que $f\mid g $ en $L[x]$ entonces $f\mid g$ en $K[x]$ .

Tenemos claramente que $fh=g$ para algunos $h\in L[x]$ . Queremos demostrar que $h\in K[x]$ . Supongamos que $h\notin K[x]$ . No estoy seguro de cómo argumentar hacia una contradicción desde aquí.

Answer 1

Dejemos que $A$ y $B$ sean dominios con $A\subseteq B$ . Decimos que la extensión del anillo $B/A$ es bueno si se cumple la siguiente implicación:

$$\style{font-family:inherit;}{\text{For every}}\ f\in A\setminus\{0\}\ \style{font-family:inherit;}{\text{and}}\ h\in B,\ \style{font-family:inherit;}{\text{if}}\ fh\in A\ \style{font-family:inherit;}{\text{then}}\ h\in A\,.$$

Afirmamos que si $B/A$ es bueno entonces $B[x]/A[x]$ también es bueno. De hecho, dejemos que $f\in A[x]\setminus\{0\}$ y $h\in B[x]\setminus\{0\}$ de grados $m$ y $n$ respectivamente sean tales que $fh\in A[x]$ . Si $f=ax^m+f_1$ y $h=bx^n+h_1$ con $a\in A\setminus\{0\}$ y $b\in B\setminus\{0\}$ entonces el coeficiente principal de $fh$ , a saber $ab$ , se encuentra en $A$ por hipótesis, así que por bondad obtenemos $b\in A$ . Esto implica $fh_1=fh-bx^nf\in A[x]$ y ahora podemos repetir el argumento con $h_1$ en lugar de $h$ . Continuando de esta manera demostramos que todos los coeficientes de $h$ mienten en $A$ como se desee.

Como corolario, obtenemos (como menciona el usuario26857) que si $L/K$ es una extensión de campo, entonces la extensión de anillo $L[x_1,\dots,x_n]/K[x_1,\dots,x_n]$ es bueno (porque se puede comprobar fácilmente que $L/K$ es bueno).

Answer 2

Dejemos que $\varphi:K[x]\to L[x]$ sea la inclusión. Denotemos por $\langle f\rangle_L$ el ideal generado por $f$ en $L[x]$ y por $\langle f\rangle_K$ el ideal generado por $f$ en $K[x]$ . Afirmo que $\varphi^{-1}(\langle f\rangle_L)=\langle f\rangle_K$ . Esto demostrará su afirmación.

Sí, es cierto, $\varphi^{-1}(\langle f\rangle_L)$ es un ideal de $K[x]$ y $K[x]$ es un dominio ideal principal, por lo tanto $\varphi^{-1}(\langle f\rangle_L)$ es generado por algún polinomio $f'\in K[x]$ . Desde $f\in\varphi^{-1}(\langle f\rangle_L)=\langle f'\rangle_K$ Esto significa que $f=u\cdot f'$ para $u\in K[x]$ . A la inversa, $\varphi(f')\in\varphi(\varphi^{-1}(\langle f\rangle_L))\subseteq\langle f\rangle_L$ Así que (recuerde que $\varphi$ es sólo una inclusión) básicamente $f'\in\langle f\rangle_L$ es decir $f'=v\cdot f$ para algunos $v\in L[x]$ .

Uniendo las dos ecuaciones, esto significa $f=uvf$ y cancelar $f$ implica $u=v^{-1}$ Así que $u,v\in K$ . Esto significa que $\varphi^{-1}(\langle f\rangle_L)=\langle f\rangle_K$ como se ha reclamado.

Finalmente, $g\in\langle f\rangle_L$ es lo mismo que decir $f\mid g$ en $L[x]$ y de forma equivalente sobre $K$ .

Answer 3

Dejemos que $f\mid g$ en $L[x]$ . La división larga del polinomio da lugar a un polinomio $q\in L[x]$ con $f = gq$ . Un examen más detallado del algoritmo de división larga polinómica muestra que los coeficientes de $q$ se calculan aplicando repetidamente operaciones de campo a los coeficientes de $f$ y $g$ . Por lo tanto, si los coeficientes de $f$ y $g$ están en $K$ entonces los coeficientes calculados de $q$ debe estar en $K$ también. Esto demuestra que $q \in K[x]$ y por lo tanto $f\mid g$ en $K[x]$ .

Answer 4

Escriba $g=fq+r$ con $q,r \in K[x]$ y $r=0$ o $\deg(r)<\deg(f)$ . Escriba $g=fh$ con $h \in L[x]$ .

Entonces $r = f(h-q)$ . Si $r\ne0$ entonces $h-q\ne0$ y así $\deg(f(h-q))\ge \deg(f) > \deg(r)$ . Así, $r=0$ .

El único detalle es que el grado de un polinomio en $K[x]$ sigue siendo el mismo cuando se considera como un polinomio en $L[x]$ .