Mapas de cocientes en geometría algebraica

Question

En topología, un cociente mapa es una surjective mapa de $\pi:X\to Y$ tal que $V\subseteq Y$ está abierto en $Y$ si y sólo si $\pi^{-1}(V)$ es abierto en X. Esta definición tiene la siguiente propiedad: Si $\rho:X\to Z$ es un mapa continuo y $f:Y\to Z$ es cualquier mapa de conjuntos tales que a$\rho=f\circ \pi$, $f$ es continua.

¿Cuál es el correspondiente concepto de cociente mapa en la categoría de cuasi-proyectiva variedades? Sólo es de la $\textit{surjective regular map}$?

Una cuestión más concreta: vamos a $\pi:X\to Y$ ser un surjective mapa de cuasi-variedades proyectivas. Es cierto que para cualquier mapa $\rho:X\to Z$, un mapa de los conjuntos de $f:Y\to Z$ tal que $\rho=f\circ\pi$ es necesariamente un mapa?

Answer 1

La respuesta a la pregunta concreta es no. Por ejemplo, tome$X=\mathbb{P}^1=Z$ con$\rho$ la identidad. Sea$Y$ una curva racional proyectiva singular con una cúspide y deje que$\pi:X\to Y$ sea el mapa de normalización. Entonces,$\pi$ es una biyección y así obtenemos un mapa de conjuntos$f:Y\to Z$ con$\rho=f\circ\pi$, pero$f$ no es regular.