En primer lugar, una carta de coordenadas no tiene que cubrir todo el espaciotiempo y el sistema de coordenadas de Schwarzschild no cubre tanto espaciotiempo como otras cartas de coordenadas.
En particular, el el horizonte de sucesos es no parte del espaciotiempo cubierta por la carta de coordenadas de Schwarzschild.
Pero los libros que he visto parecen tratar $r$ como la coordenada radial, y hablar de "el radio de una órbita circular estable" o cosas así.
Puedes conseguir mejores libros. El $r$ de la carta de Schwarzschild es una coordenada areal, no una distancia radial. Y de todas formas es una idea bastante tonta. Cuando una cáscara de materia cae hacia una estrella/planeta, la distancia entre la cáscara y las estrellas lejanas aumenta más de lo que disminuye la distancia entre la cáscara y la estrella/planeta. Así es la vida. No te definas por lo lejos que estás de algo, te morderá.
En el resto de la física, nos centramos implacablemente en cómo se pueden medir las cantidades matemáticas, pero no sé cómo funciona eso aquí, para la coordenada de Schwarzschild $r$ .
No se puede medir $\theta$ o $\phi$ en cualquier sistema de coordenadas con simetría esférica. Así que no estoy seguro de por qué esto parece un problema. Y se puede medir la coordenada areal de Schwarzschild $r$ A diferencia de $\theta$ o $\phi$ que no son medibles.
En el espaciotiempo de Minkowksi con coordenadas $(t,x,y,z)$ no puedes encontrar el origen ni ninguna de las coordenadas.
- ¿Puede la afirmación "el horizonte de sucesos está en $r = 2GM$ "¿se puede redactar de forma independiente de las coordenadas?
Ni siquiera tiene sentido. El gráfico de coordenadas sólo cubre $r>2MG$ se necesita una carta de coordenadas diferente en los eventos en el horizonte.
- ¿Cómo puede la coordenada $r$ ¿se puede medir?
Se podrían medir las fuerzas de marea en una pequeña región de tiempo y espacio y compararlas con las fuerzas de marea esperadas para regiones con diferentes valores de $r.$
Pero debido al principio de equivalencia, si se fija la precisión y la tolerancia de las mediciones y se considera una región lo suficientemente pequeña, no se podría saber. En una región pequeña las fuerzas de marea son difíciles de detectar.
Este es un principio fundamental. Así es como podemos hacer predicciones. Afirmamos que para una pequeña región de espacio y tiempo, es como el espaciotiempo de Minkowski (donde no se pueden distinguir coordenadas, aunque algunas direcciones siguen siendo claramente temporales y otras claramente espaciales). Haces tu física en esa región, y luego antes de llegar a otra región cambias a sus coordenadas.
El objetivo de escribir la métrica para un sistema de coordenadas práctico es permitir el uso de un sistema de coordenadas en una región más grande de lo que permitiría el marco inercial local de caída libre.
Pero no se debería poder distinguir localmente. Y si se trata de regiones más grandes, es esencial cómo se reúne toda la información.
Pero, en realidad, la ciencia consiste en utilizar una teoría para hacer modelos y extraer predicciones del modelo, por un lado, y hacer observaciones, por otro, para que en la mano de agarre se puedan contrastar las predicciones con las observaciones.
Medir una coordenada podría formar parte de ese proceso, pero no se trata de eso. Ni siquiera tenemos que utilizar ese sistema de coordenadas. Y deberíamos no utilizar ese sistema de coordenadas en el horizonte de sucesos.
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Lo que se puede medir es el intervalo espacio-tiempo dado por la fórmula de ds^2. Esto define los intervalos de tiempo o las distancias espaciales. Las coordenadas no tienen ningún significado, son análogas a los puntos de un mapa. Por ejemplo, en un mapa de los EE.UU., se pueden poner puntos arbitrarios y darles etiquetas para distinguirlos. Estas etiquetas no tienen (necesariamente) ningún significado. Lo que importa es la distancia entre los puntos.
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Claro, con este método se pueden medir las diferencias en $r$ valores. Pero entonces, ¿cómo medimos los valores absolutos $r$ ¿valores? No podemos ir al origen y empezar a medir desde allí porque, bueno, está dentro del agujero negro.
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Se pueden utilizar las propiedades de la métrica de Schwarzschild para deducir el valor de r utilizando sólo la medición local hasta un factor de escala.
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Oh, ya veo. Como que puedes calcular la curvatura en tu área local. Todavía no estoy totalmente satisfecho porque esto no me dice cómo $r$ se interpreta como una coordenada radial.
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Si miras la fórmula de ds^2, ves que dr^2 aparece con un factor que depende de r, por lo que r no puede tomarse como la distancia radial. Si integras la raíz cuadrada de ese término de r1 a r2, obtienes la distancia radial real de r1 a r2.
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No existe la "distancia absoluta" en sentido geométrico. Al igual que en la relatividad especial, la distancia geométrica entre dos puntos depende del observador (del movimiento). Se puede elegir un observador arbitrario (como una persona colgada desde el infinito en una cuerda) y preguntarle cómo se puede producir una distancia (radial), pero la respuesta no será la misma que para alguien que esté en caída libre o en una órbita (meta) estable.
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No creo que haya ningún valor "absoluto" en una coordenada (no confundir con "valor absoluto"). Sin embargo, como mencionó CuriosOne, podemos evaluar una distancia entre puntos según la perspectiva de un observador particular.