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¿Cómo se pueden medir las coordenadas de Schwarzschild?

En la relatividad especial, se hace un gran esfuerzo por establecer marcos de referencia inerciales y construir sistemas de coordenadas mediante redes de relojes y reglas. De este modo se obtiene una definición física inequívoca del punto del espacio-tiempo $(x, t)$ . En la relatividad general, puedes tomar el sistema de coordenadas que quieras, pero entonces no sé qué significan las coordenadas.

Por ejemplo, el horizonte de sucesos de un agujero negro de Schwarzschild es $r = 2GM$ . Interpretar ingenuamente $r$ como coordenada radial, esto sugiere que el horizonte de sucesos es " $2GM$ del centro del agujero negro", pero esa afirmación no tiene sentido ni matemáticamente (la distancia $\int ds$ no es $2GM$ en absoluto) o físicamente (no puedes extender tu red de reglas dentro del agujero negro). Pero los libros que he visto parecen tratar $r$ como la coordenada radial, y hablar de "el radio de una órbita circular estable" o cosas así.

En el resto de la física, nos centramos implacablemente en cómo se pueden medir las cantidades matemáticas, pero no sé cómo funciona eso aquí, para la coordenada de Schwarzschild $r$ .

  • ¿Puede la afirmación "el horizonte de sucesos está en $r = 2GM$ "¿se puede redactar de forma independiente de las coordenadas?
  • ¿Cómo puede la coordenada $r$ ¿se puede medir?

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Lo que se puede medir es el intervalo espacio-tiempo dado por la fórmula de ds^2. Esto define los intervalos de tiempo o las distancias espaciales. Las coordenadas no tienen ningún significado, son análogas a los puntos de un mapa. Por ejemplo, en un mapa de los EE.UU., se pueden poner puntos arbitrarios y darles etiquetas para distinguirlos. Estas etiquetas no tienen (necesariamente) ningún significado. Lo que importa es la distancia entre los puntos.

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Claro, con este método se pueden medir las diferencias en $r$ valores. Pero entonces, ¿cómo medimos los valores absolutos $r$ ¿valores? No podemos ir al origen y empezar a medir desde allí porque, bueno, está dentro del agujero negro.

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Se pueden utilizar las propiedades de la métrica de Schwarzschild para deducir el valor de r utilizando sólo la medición local hasta un factor de escala.

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barry Puntos 131

Las coordenadas se pueden medir en la RG, aunque con demasiada frecuencia este hecho se pasa por alto o incluso se contradice por la gente que se enreda en la invariancia de coordenadas.

Como bien observas, en Schwarzschild $r$ no es realmente un radio en el sentido de "integrar en un ángulo constante desde el centro y recuperar este valor". Sin embargo, lo es, radial en el sentido de ser ortogonal a las coordenadas angulares, Además, coincide con la intuición euclidiana en lo que respecta a las circunferencias y las áreas en las coordenadas fijas $r$ .

¿Cómo puede la coordenada $r$ ¿se puede medir?

Un procedimiento de medición que puedes adoptar es el siguiente: Siéntese en su cohete con una cantidad fija de empuje alejándose directamente del agujero negro, de modo que esté flotando a una velocidad constante $r$ . Haz que todos tus amigos hagan lo mismo alrededor del agujero negro, experimentando todos la misma aceleración. Todo el mundo puede entonces colocar reglas en un círculo que pase por todos los cohetes, y la suma de las lecturas (asumiendo que has ajustado las posiciones para maximizar este valor) es de hecho $2\pi r$ .

¿Puede la afirmación "el horizonte de sucesos está en $r =2GM$ "¿se puede redactar de forma independiente de las coordenadas?

Más o menos, aunque quizás no de una forma tan directa como querrías. Ciertamente, el horizonte de sucesos es simplemente la superficie que delimita los sucesos que pueden influir en el futuro infinito nulo, sin coordenadas.

Sin embargo, utilizando la discusión anterior, podríamos decir que para cualquier $r > 2GM$ que la superficie de la constante $r$ es el lugar de los puntos tales que los cohetes con una aceleración radial prescrita se mantienen estacionarios allí, siendo el horizonte de sucesos el límite de tales superficies.


En general, lo que estoy impulsando es la idea de que las coordenadas se pueden medir siempre y cuando se pueda llegar a algún experimento donde aparezcan en la fórmula. Esto es algo más amplio que la noción de medición de "integrar $\sqrt{g_{\mu\mu}}$ a lo largo de una línea en la que todas las coordenadas, excepto $x^\mu$ son constantes" que basta para los espacios simples.

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Por supuesto que tus amigos no pueden empujar lo suficiente para mantenerse en constante $r$ si $r=2MG$ . Así que tienen que empujar para permanecer un mayor $r$ luego sincronizar sus relojes, luego dejar de empujar en un momento acordado, luego medir lo lejos que están sus amigos en un momento acordado, luego comparar el cambio porcentual de eso comparado con la circunferencia que midieron antes y luego asumir que sus amigos obtuvieron el mismo resultado de ajuste porcentual y luego asociar esa longitud global de una curva espacial con sus mediciones locales. No es tan sencillo.

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Y no hay una forma local de medir un horizonte de sucesos clásico.

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Así es como UNO de una infinidad de observadores especiales verá el mundo. Es tan poco significativo como declarar un sistema de coordenadas absoluto en la mecánica newtoniana utilizando la tumba de Newton como punto de referencia para la coordenada cero.

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SBWorks Puntos 245

En primer lugar, una carta de coordenadas no tiene que cubrir todo el espaciotiempo y el sistema de coordenadas de Schwarzschild no cubre tanto espaciotiempo como otras cartas de coordenadas.

En particular, el el horizonte de sucesos es no parte del espaciotiempo cubierta por la carta de coordenadas de Schwarzschild.

Pero los libros que he visto parecen tratar $r$ como la coordenada radial, y hablar de "el radio de una órbita circular estable" o cosas así.

Puedes conseguir mejores libros. El $r$ de la carta de Schwarzschild es una coordenada areal, no una distancia radial. Y de todas formas es una idea bastante tonta. Cuando una cáscara de materia cae hacia una estrella/planeta, la distancia entre la cáscara y las estrellas lejanas aumenta más de lo que disminuye la distancia entre la cáscara y la estrella/planeta. Así es la vida. No te definas por lo lejos que estás de algo, te morderá.

En el resto de la física, nos centramos implacablemente en cómo se pueden medir las cantidades matemáticas, pero no sé cómo funciona eso aquí, para la coordenada de Schwarzschild $r$ .

No se puede medir $\theta$ o $\phi$ en cualquier sistema de coordenadas con simetría esférica. Así que no estoy seguro de por qué esto parece un problema. Y se puede medir la coordenada areal de Schwarzschild $r$ A diferencia de $\theta$ o $\phi$ que no son medibles.

En el espaciotiempo de Minkowksi con coordenadas $(t,x,y,z)$ no puedes encontrar el origen ni ninguna de las coordenadas.

  • ¿Puede la afirmación "el horizonte de sucesos está en $r = 2GM$ "¿se puede redactar de forma independiente de las coordenadas?

Ni siquiera tiene sentido. El gráfico de coordenadas sólo cubre $r>2MG$ se necesita una carta de coordenadas diferente en los eventos en el horizonte.

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Se podrían medir las fuerzas de marea en una pequeña región de tiempo y espacio y compararlas con las fuerzas de marea esperadas para regiones con diferentes valores de $r.$

Pero debido al principio de equivalencia, si se fija la precisión y la tolerancia de las mediciones y se considera una región lo suficientemente pequeña, no se podría saber. En una región pequeña las fuerzas de marea son difíciles de detectar.

Este es un principio fundamental. Así es como podemos hacer predicciones. Afirmamos que para una pequeña región de espacio y tiempo, es como el espaciotiempo de Minkowski (donde no se pueden distinguir coordenadas, aunque algunas direcciones siguen siendo claramente temporales y otras claramente espaciales). Haces tu física en esa región, y luego antes de llegar a otra región cambias a sus coordenadas.

El objetivo de escribir la métrica para un sistema de coordenadas práctico es permitir el uso de un sistema de coordenadas en una región más grande de lo que permitiría el marco inercial local de caída libre.

Pero no se debería poder distinguir localmente. Y si se trata de regiones más grandes, es esencial cómo se reúne toda la información.

Pero, en realidad, la ciencia consiste en utilizar una teoría para hacer modelos y extraer predicciones del modelo, por un lado, y hacer observaciones, por otro, para que en la mano de agarre se puedan contrastar las predicciones con las observaciones.

Medir una coordenada podría formar parte de ese proceso, pero no se trata de eso. Ni siquiera tenemos que utilizar ese sistema de coordenadas. Y deberíamos no utilizar ese sistema de coordenadas en el horizonte de sucesos.

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Si no recuerdo mal, el "localmente Minkowski" de la RG es en un punto no en un conjunto abierto, por lo que no estoy seguro de que "localmente no debería poder contarse" sea realmente correcto porque las mediciones tienen cierta extensión en el tiempo o en el espacio, por lo que no ocurren en un punto.

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@ACuriousMind Un límite no es algo que ocurra un punto, ocurre en una región finita cuyo tamaño es cada vez menor. Hay familias de vecindades parametrizadas ser $h$ tal que la métrica es Minkwoski y las primeras derivadas de la métrica son cero, hasta un orden de h. Así es literalmente como existe el límite para obtener ese límite puntual al que te refieres.

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@ACuriousMind Así que cuando fijas tu precisión, y usas esa familia de vecindades entonces eventualmente llegas a una vecindad donde no puedes distinguir la métrica de la métrica de Minkowski.

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Colin MacLaurin Puntos 377

Puedes relacionar $r$ a las fuerzas de marea que experimenta un observador, o utilizar la circunferencia reducida o el radio areal, etc. para observadores sin momento angular (ver otras respuestas). Muchos libros hacer argumentar en contra de llamar $r$ un "radio", la palabra "radial" parece más popular y general, pero para ser más precavido se puede decir simplemente "Schwarzschild $r$ -coordinación". Personalmente soy flexible; siempre que se entienda que no se puede colgar un estático regla de $r=0$ a $r=2M$ y que en la relatividad la distancia es relativa al observador.

Sin embargo, puede utilizar un moviendo regla dentro del horizonte. Tome un observador que cayó libremente de gran $r$ . Entonces la distancia adecuada $\int ds$ a lo largo de su dirección espacial radial es efectivamente $dr$ y la colocación de un grupo de tales reglas que caen de extremo a extremo da efectivamente una longitud total de $2M$ . Véase Taylor & Wheeler, Explorando los agujeros negros (2000, $\S B.3$ ).

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John Duffield Puntos 4475

En la relatividad general, puedes tomar el sistema de coordenadas que quieras

Eso es lo que suele decir la gente, pero no es cierto. Imagina que tu sistema de coordenadas es azul. Puedes adoptar un nuevo sistema de coordenadas si lo deseas, pero también es azul. Puedes tener el sistema de coordenadas que quieras, siempre que sea azul. Bien, ahora mira esta representación de un agujero negro:

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Es negro en el centro. Ahí es donde no existe un sistema de coordenadas . La gente tiende a decir que el horion de eventos es un mero artefacto, y que se puede adoptar un nuevo sistema de coordenadas que abarque esta región central, pero no puede . Porque el sistema de dilatación del tiempo gravitacional es infinito.

Por ejemplo, el horizonte de sucesos de un agujero negro de Schwarzschild es $r = 2GM$ . Interpretar ingenuamente $r$ como coordenada radial, esto sugiere que el horizonte de sucesos es " $2GM$ del centro del agujero negro", pero esa afirmación no tiene sentido ni matemáticamente (la distancia $\int ds$ no es $2GM$ en absoluto) o físicamente (no puedes extender tu red de reglas dentro del agujero negro). Pero los libros que he visto parecen tratar $r$ como la coordenada radial, y hablar de "el radio de una órbita circular estable" o cosas así.

Hay una distancia definitiva. Para simplificar, piensa en el espacio sin una estrella, y en el mismo espacio con una estrella en el centro. Hay una distancia entre tú y la superficie de esa estrella, y la del centro de la estrella. Cuando se sustituye la estrella por un agujero negro, r no es ninguna de las dos.

En el resto de la física, nos centramos implacablemente en cómo se pueden medir las cantidades matemáticas, pero no sé cómo funciona eso aquí, para la coordenada de Schwarzschild $r$ .

Aquí no funciona del todo, no como la gente sugiere. Echa un vistazo al artículo de Wikipedia sobre el radio de Schwarzschild. Observe la expresión $\frac{t_r}{t} = \sqrt{1 - \frac{r_\mathrm{s}}{r}}$ y pensar en lo que ocurre cuando r = r s . También hay que tener en cuenta que se puede medir la dilatación del tiempo utilizando relojes a diferentes alturas. Bien, ahora desenrolla un cable muy largo de tu nave espacial gedanken con relojes de luz cada diez metros. Deja que cuelgue hacia el agujero negro. No lo desenrolles hasta el horizonte de sucesos. Esto puede requerir varios intentos y algunos cables de reloj de luz de repuesto. Cuando lo hayas desenrollado, déjalo allí durante un año para que los tiempos de desenrollado y enrollado sean insignificantes. A continuación, trace todas las lecturas del reloj. Las lecturas del reloj de abajo son más bajas que las de arriba, y el gráfico es curvo, como la representación de arriba. Se puede extrapolar, con lo que se ve el punto discutible: si se hubiera podido desenrollar el cable de forma que el reloj más bajo estuviera en el horizonte de sucesos, y si se hubiera podido tener en cuenta adecuadamente el tiempo de desenrollado y enrollado, la lectura del reloj más bajo sería cero. Porque la dilatación gravitacional del tiempo es infinita. Entonces, la verdad debería salir a la luz: en realidad no has hecho cualquier medición con ese reloj, porque el horizonte de sucesos es donde sus mediciones se detienen, porque es donde los relojes se detienen.

Un reloj parado no puede ir más despacio que parado, y como la fuerza de la gravedad se relaciona con el gradiente de potencial que a su vez se relaciona con esas velocidades del reloj, deberías poder calcular que en este lugar no hay gravedad . También debe ser capaz de apreciar que no puede adoptar un nuevo sistema de coordenadas para hacer funcionar un reloj parado. Las coordenadas de Kruskals-Szekeres supuestamente lo hacen, pero en realidad colocan a un observador detenido frente al reloj parado y afirman que lo ve funcionando normalmente "en su marco". No tiene sentido. El reloj está parado y él también. Él ve nada . Las coordenadas Eddington-Finkelstein son similares. Asegúrese de leer el párrafo inicial de el artículo de Wikipedia que dice que fueron ideados por Penrose y promovidos por Misner/Thorne/Wheeler. Kip Thorne promueve hoy en día los viajes en el tiempo.

¿Puede la afirmación "el horizonte de sucesos está en $r = 2GM$ "¿se puede redactar de forma independiente de las coordenadas?

Sí. Ese es el lugar donde todos los sistemas de coordenadas se detienen . No puedes pasar de este lugar. Tampoco se puede pasar de largo. Ver el segundo párrafo aquí y nota la estrella congelada en Kevin Brown's Formación y crecimiento de los agujeros negros .

¿Cómo puede la coordenada $r$ ¿se puede medir?

Prácticamente no se puede medir. Pero puedes entender por qué no.

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