La "Motivación" de la sección es una linda historia, y puede ser omitido; la sección "Definiciones" establece la notación y el fondo de resultados; mi pregunta es en "Mi Pregunta", y en breve en el título. Algunas de mis declaraciones ir mal en no-cero característica, pero no sé que historia lo suficientemente bien, por lo que son bienvenidos a punto de salir, pero este es mi característica cero descargo de responsabilidad.
La motivación
En su 1972 hablar de "Oportunidades Perdidas" (MR0522147), F. Dyson cuenta la siguiente historia de cómo los matemáticos podrían haber inventado especial y mucho de la relatividad general, mucho antes de que los físicos hicieron. Siguiendo los físicos, los voy a hablar de la Mentira de los grupos, pero en realidad me refiero a álgebras de Lie, o tal vez conectados Mentira grupos, ...
La física de Galileo y Newton es invariante bajo la acción de la Galileo Grupo (de hecho, este es el grupo más grande de salir de la física clásica invariante y la fijación de un punto), que es el grupo $G_\infty = \text{SO}(3) \ltimes \mathbb R^3 \subseteq \text{GL}(4)$ donde $\text{SO}(3)$ actúa como rotaciones del espacio, la fijación del eje de tiempo, y $\mathbb R^3$ son los nonrelativistic aumenta $\vec x \mapsto t\vec u$, $t\mapsto t$. Este grupo no es semisimple. Pero es el límite de $c\to \infty$ del Grupo de Lorentz $G_c = \text{SO}(3,1)$, generado por el mismo $\text{SO}(3)$ parte pero los aumentos son ahora $$ t \mapsto \frac{t + c^{-2}\vec u \cdot \vec x}{\sqrt{1 - c^{-2}u^2}} \quad \quad \vec x \mapsto \frac{\vec x + t\vec u}{\sqrt{1 - c^{-2}u^2}} $$ Desde semisimple grupos son más fáciles de tratar que nonsemisimple, por la Navaja de Occam debemos preferir el grupo de Lorentz. Afortunadamente, las ecuaciones de Maxwell no son invariantes bajo $G_\infty$, pero en lugar de $G_c$ donde $c^{-2}$ es el producto de la eléctrica permititivity y la permeabilidad magnética del espacio libre (cada uno de los cuales es directamente medible, dando la primera medición precisa de la velocidad de la luz). En realidad, desde esta perspectiva, $c^{-2}$ fundamental es la de número, y en realidad debemos pensar en la Galileo Grupo como un límite a $0$, no $\infty$, de algo.
Pero, por supuesto, desde esta perspectiva, debemos ir más allá. Real de la física es invariante bajo más que el grupo de Lorentz, que es el grupo en el que la física la física y de un punto. Así que la Relatividad Especial es invariante bajo el Grupo de Poincaré $P = G_c \ltimes \mathbb R^{3+1}$. De nuevo esto no es semisimple. Es el límite de $r \to \infty$ de la DeSitter Grupo $D_r$, lo que en lenguaje moderno "es la permanencia del grupo de vacío de un universo en expansión cuyo radio de curvatura $R$ es una función lineal del tiempo" (Dyson), por lo que el $R = rt$ en el más absoluto de unidades de tiempo. Hubble midió la expansión del universo en la primera mitad del siglo xx.
De todos modos, tengo la curiosidad de saber si es cierto que cada Mentira de grupo es un límite de un semisimple: la forma típica son estos ejemplos de la física? Para hacer esto más precisa, voy a cambiar a álgebras de Lie.
Definiciones
Deje $V$ $n$- dimensional espacio vectorial. Si te gusta, elige una base $e_1,\dots,e_n$$V$, y adoptar Einstein repetidas índice de notación, por lo que, dada $n$-tuplas $a^1,\dots,a^n$$b_1,\dots,b_n$,$a^ib_i = \sum_{i=1}^n a^ib_i$, y si $v \in V$, se definen los números de $v^i$$v = v^ie_i$; mejor, el trabajo de Penrose índice de notación. De todos modos, una Mentira álgebra estructura en $V$ es un mapa de $\Gamma: V \otimes V \to V$ satisfacer dos condiciones, una lineal homogénea (la matriz de coeficientes) de $\Gamma$ y el otro homogénea cuadrática: $$ \Gamma^k_{ij} + \Gamma^k_{ji} = 0 \quad\text{and}\quad \Gamma^l_{im}\Gamma^m_{jk} + \Gamma^l_{jm}\Gamma^m_{ki} + \Gamma^l_{km}\Gamma^m_{ij} = 0 $$ Así, el espacio de la Mentira álgebra estructuras en $V$ es una variedad algebraica en $V \otimes V^\* \otimes V^\*$ donde $V^\*$ es el espacio dual a $V$.
Si $\Gamma$ es una Mentira álgebra estructura en $V$, la correspondiente Matar formulario de $\beta$ es la clave de emparejamiento bilineal $\beta_{ij} = \Gamma^k_{im}\Gamma^m_{jk}$. A continuación, $\Gamma$ es semisimple si y sólo si $\beta$ es no degenerada. De no degeneración es un Zariski-estado abierto en formas bilineales, ya $\beta$ es degenerada si y sólo si un determinado homogénea de grado-$n$ expresión en $\beta$ desaparece (es decir, $\sum_{\sigma \in S_n} (-1)^\sigma \prod_{k=1}^n \beta_{i_k,j_{\sigma(k)}} = 0$ como un mapa de $V^{\otimes n} \otimes V^{\otimes n}$ donde $S_n$ es el grupo simétrico de a $n$ objetos y $(-1)^\sigma$ es el "signo" carácter de $S_n$). Desde $\beta$ se expresa algebraicamente en términos de $\Gamma$, semisimplicity es un Zariski-estado abierto en la variedad de Mentira estructuras de álgebra en un determinado espacio vectorial.
Por cierto, Cartan clasificado todos los semisimple álgebras de Lie (al menos más de $\mathbb C$$\mathbb R$) hasta el isomorfismo, y la clasificación es discreto. Así que dos semisimple álgebras de Lie en el mismo componente conectado en el espacio de semisimple estructuras son isomorfos.
Mi Pregunta
Es el espacio de Lie semisimple álgebra estructuras en $V$ denso en el espacio de toda la Mentira de álgebra estructuras en $V$? (I. e. si $\Gamma$ es una Mentira álgebra estructura en $V$ $U \ni \Gamma$ es un conjunto abierto de Mentira álgebra estructuras, no necesariamente contienen un semisimple?) Este es, en realidad, dos preguntas. Una de ellas es si es Zariski-denso. Pero también podemos trabajar sobre otros campos, por ejemplo, $\mathbb R$ o $\mathbb C$, que han topologías de su propio. Es el espacio de Lie semisimple álgebra estructuras en un verdadero espacio vectorial $V$, densa, con respecto a la costumbre real de la topología?
(La respuesta es no al $\dim V = 1$, como entonces, la Mentira de álgebra de la estructura es la abelian una $\Gamma = 0$, que no es semisimple, y no es al $\dim V = 2$, ya que hay no trivial de dos dimensiones de álgebras de Lie, pero no semisimple. Así que debo pedir a mi pregunta para los de mayores dimensiones de las cosas.)
Edit: he puesto el resto de estos como esta pregunta de seguimiento.
Si la respuesta es no, en general, es posible (muy bien) caracterizar la Mentira de álgebra estructuras que están en el cierre de la semisimple parte?
Una pregunta relacionada es si dado un nonsemisimple Mentira álgebra estructura, son todos sus cercanos semisimple vecinos isomorfos? Por supuesto que la respuesta es no: la abelian Mentira álgebra estructura $\Gamma = 0$ está cerca de cada Mentira álgebra, pero en general hay nonisomoprhic semisimple álgebras de Lie de la misma dimensión, y más en general, siempre se podía dividir $V = V_1 \oplus V_2$, y poner un semisimple Mentira álgebra estructura en $G_1$ y un trivial en $V_2$. Así que a la inversa pregunta: ¿hay alguna nonsemisimple álgebras de Lie de modo que todos sus semisimple deformaciones son isomorfos? Sí, por ejemplo, cualquiera de las tres dimensiones del espacio vectorial sobre $\mathbb C$. Así que: ¿hay una (computacionalmente útil) caracterización de aquellos que son?
Si la respuesta a todas mis preguntas son "sí", entonces es probable que se haya hecho en algún lugar, por lo que una respuesta completa podría consistir en un buen enlace. La más-otra cuestión es hasta qué punto uno puede deformar las representaciones, pero que probablemente empujándolo.
