¿La conversación con Schwarz Pick Lemma?

Question

El Schwarz-Pick lema afirma que si $D$ indica la unidad de disco en el plano complejo, y $f: D\rightarrow D$ es un holomorphic función, entonces es una contracción con respecto a la métrica de Poincaré (los que vamos a denotar como $\rho$) en el disco. Una pregunta natural (al menos para mí) es que todas las funciones son a $f: D\rightarrow D$ cuales son las contracciones con respecto a $\rho$ holomorphic? Esto no puede ser cierto exactamente como se indicó ya, si denotamos la conjugación del mapa ( $\tau: z\mapsto \bar{z}$ , tenemos, por un arbitrario holomorphic función de $f$: $$\begin{align} \rho(f\circ\tau(z_1), f\circ\tau(z_2)) & \leq \rho(\tau(z_1),\tau(z_2))\\ &= \rho(z_1,z_2) \end{align}$$ Desde $\tau$ es una isometría para $\rho$; pero $f\circ\tau$ es anti-analítica. Entonces, mi pregunta es:

Es cada una de las funciones que es una contracción con respecto al $\rho$, ya sea analítica o anti-analítica? Esto parece demasiado bueno para ser verdad, así que alguien podría proporcionar un contra-ejemplo?

Edit: contracción es la palabra equivocada. Debe ser reemplazado con no expansivo o 1 Lispchitz como en 5P.M.'s respuesta.