Itō isometría de la Wikipedia:
Deje $W : [0, T] \times \Omega \to \mathbb{R}$ el valor de la canónica valor real Wiener proceso definido hasta el momento de $T > 0$, y dejar que $X : [0, T] \times \Omega \to \mathbb{R}$ ser un proceso estocástico que es adaptado a los procesos naturales de filtración $\mathcal{F}_{*}^{W}$ de la Wiener proceso. Entonces $$ \mathbb{E} \left[ \left( \int_{0}^{T} X_{t} \, \mathrm{d} W_{t} \right)^{2} \right] = \mathbb{E} \left[ \int_{0}^{T} X_{t}^{2} \, \mathrm{d} t \right], $$ where $\mathbb{E}$ denota la expectativa con respecto a la clásica medida de Wiener $\gamma$. En otras palabras, la Itō estocástico integral, como una función, es una isometría de la normativa vector espacios con respecto a las normas inducida por el interior de los productos $$ ( X, Y )_{L^{2} (W)} := \mathbb{E} \left( \int_{0}^{T} X_{t} \, \mathrm{d} W_{t} \int_{0}^{T} Y_{t} \, \mathrm{d} W_{t} \right) = \int_{\Omega} \left( \int_{0}^{T} X_{t} \, \mathrm{d} W_{t} \int_{0}^{T} Y_{t} \, \mathrm{d} W_{t} \right) \, \mathrm{d} \gamma (\omega) $$ and $$ ( A, B )_{L^{2} (\Omega)} := \mathbb{E} ( a B ) = \int_{\Omega} (\omega) B(\omega) \, \mathrm{d} \gamma (\omega). $$
Wikipedia afirma que el de referencia para el de arriba es Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones Diferenciales estocásticas: Una Introducción con Aplicaciones. Sin embargo, yo no encuentro cosas como "$\mathbb{E}$ denota la expectativa con respecto a la clásica medida de Wiener $\gamma$" en el libro.
Mi comprensión de Itō isometría es que, dada fijo $T$, $\left( \int_{0}^{T} X_{t} \, \mathrm{d} W_{t} \right)^{2}$ y $\int_{0}^{T} X_{t}^{2} \, \mathrm{d} t$ are both random variables not stochastic processes, and $\mathbb{E}$ denota la expectativa con respecto a la probabilidad de medida sobre la probabilidad subyacentes espacio de $\Omega$. Es mi entendimiento correcto?
¿Por qué la Wiki Itō isometría tratar $\left( \int_{0}^{T} X_{t} \, \mathrm{d} W_{t} \right)^{2}$ y $\int_{0}^{T} X_{t}^{2} \, \mathrm{d} t$ as stochastic processes, and $\mathbb{E}$ como expectativa con respecto a la clásica medida de Wiener $\gamma$ que es una medida en el espacio funcional $\mathbb{R}^{[0,T]}$ inducida por el proceso de Wiener $W$? No estoy seguro de si el Wiki es coherente consigo misma, porque en los últimos dos fórmulas para el interior de los productos, las integrales son respecto de la clásica Wiener medida a lo largo de la probabilidad subyacentes espacio de $\Omega$ en lugar de en el espacio funcional. O no me malentiendan Wiki?
Es de la Wiki Itō isometría una versión diferente de la de los que me entienden? Si sí, ¿hay alguna referencia para las de la Wiki de la versión y la relación entre los dos?
Gracias y saludos!
