División de primos en una extensión$S_3$

Question

Deje $\alpha$ ser una raíz del polinomio $X^3-X-1$. El polinomio tiene discriminante $-23$ que no es un cuadrado, por lo que la división de campo debe tener el grupo de Galois $S_3$. Me gustaría averiguar la división de números primos en $\mathbb{Q}(\alpha)$. La ramificado caso es trivial, por lo que asumir que $p$ no está ramificado. Mirando posibles escisiones de un primer $p$ $\mathbb{Q}$ en el Galois de cierre y, a continuación, busca en el cual escisiones en $\mathbb{Q}(\alpha)$ dar lugar a que escisiones en el cierre de Galois, tenemos las siguientes opciones para escisiones en $\mathbb{Q}(\alpha)$:

1. $(p)$ se queda inerte. Densidad: 1/3.

2. $(p)=\mathfrak{p}\mathfrak{q}$. Densidad: 1/2.

3. $(p)$ se divide. Densidad: 1/6.

Un viejo qual pregunta que he encontrado en internet pide que los números primos $p$ $\mathbb{Q}$ dar lugar a que la división, por lo que a mí me parece que la pregunta pide condiciones explícitas en $p$ que nos dijera cómo se divide. Este es sólo a partir de una transcripción escrita por el estudiante, así que no tengo idea de si o no una respuesta en realidad era la esperada, o si esto era una pregunta con trampa.

La manera que yo he entendido la norma limitación teorema de campo de la clase de teoría es que sólo podemos esperar para dar congruencia a las condiciones en $\mathbb{Q}$ para la forma de los números primos divide en un abelian extensión. Así, para cualquier nonabelian extensión que no hay manera de expresar la condición en la forma

$$p\equiv a_1,\ldots,a_k\,(\textrm{mod } n)$$

desde cualquier congruencias sería sólo nos dan información acerca de escisiones en la máxima abelian subextension. En este caso, sabiendo splitings en $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ no nos permite distinguir entre escisiones en$\mathbb{Q}(\alpha)$. ¿Alguien puede decirme si mi intuición es correcta o si en realidad hay formas de escribir condiciones explícitas sobre los números primos?

Answer 1

Como Qiaochu dice, depende de lo que quieres decir con explícita. Aquí es otro tipo-de-una respuesta explícita.

Deje $K$ ser la división de campo de la $x^3-x-1$. Como ya se dieron cuenta, este es un $S_3$-extensión de la $\mathbb{Q}$, y la cuadrática subcampo es $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$. Deje $p$ ser racional primer distinta de $23$. Como creo que te das cuenta, los siguientes son equivalentes:

• $p$ factores $\mathbb{Q}(\alpha)$ $\mathfrak{p} \mathfrak{q}$
• El Frobenius de $p$ $S_3$ es una de dos ciclos
• $p$ es inerte en $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$
• $-23$ no es un residuo cuadrático módulo $p$
• $p$ es congruente a $5$, $7$, $10$, $11$, $14$, $15$, $17$, $19$, $20$, $21$ o $22 \mod 23$.

Ahora, para el caso interesante. Supongamos que las condiciones anteriores no verdadero. Por lo $p$ factores $\mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_2$$\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$. A continuación, los siguientes son equivalentes

• $p$ se divide completamente en $\mathbb{Q}(\alpha)$
• El Frobenius de $p$ $S_3$ es la identidad
• El primer $\mathfrak{p}_1$ $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ se divide en $K$.

Ahora, $K/\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ es abelian, así que no debe haber una congruencia condición para al $\mathfrak{p}$ se divide en $K$. Por otra parte, un cálculo directo le mostrará que la $K/\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ es unramified, por lo que la congruencia condición debe depender sólo del ideal de clase del ideal de la $\mathfrak{p}_1$. Trabajando, los siguientes son equivalentes:

• El primer $\mathfrak{p}_1$ $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ se divide en $K$
• El primer ideal $\mathfrak{p}_1$ es la directora.
• Hay algunos enteros $x$ $y$ tal que $\mathfrak{p}_1 = \langle x+y \theta \rangle$ donde $\theta = (1+\sqrt{-23})/2$.
• El primer $p$ es de la forma $x^2 - xy + 6y^2$.

La última condición es la norma de la condición anterior; este es el truco para ir entre los ideales en cuadrática número de campos y formas cuadráticas.

Por lo tanto, mi respuesta es más explícito

El primer $p$ se divide completamente en $\mathbb{Q}(\alpha)$ si y sólo si $p$ si de la forma $x^2-xy+6 y^2$.

Comentario $K$ no es sólo un unramified abelian extensión de $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$, es la máxima ampliación, también conocido como el campo de clase.

Answer 2

Depende de lo que quiere decir "explícito". La división de primos en este caso se rige por los coeficientes de la forma modular

ps

Vea esta pregunta MO para algunos detalles.