Traté de demostrar la parte c) de "Problema de 42", del libro "Álgebra" por Gelfand.
Fracciones $\frac{a}{b}$ $\frac{c}{d}$ son llamados vecino fracciones, si su diferencia $\frac{cb-ad}{db}$ ha numerador ±1, es decir, $cb-ad = ±1$. Probar que:
b) Si $\frac{a}{b}$ $\frac{c}{d}$ vecino fracciones, $\frac{a+c}{b+d}$ es entre ellos y es un vecino de la fracción por tanto $\frac{a}{b}$$\frac{c}{d}$.
Me: es fácil de probar.
c) ninguna fracción $\frac{e}{f}$ con entero positivo $e$ $f$ tal que $f < b+d$ entre $\frac{a}{b}$ $\frac{c}{d}$.
Me: sabemos que $\frac{a+c}{b+d}$ entre $\frac{a}{b}$$\frac{c}{d}$. La declaración dice que si hacemos el denominador menor que $b+d$, la fracción no puede ser de entre $\frac{a}{b}$ $\frac{c}{d}$ con cualquier numerador.
Vamos a demostrarlo:
0) Suponga que $\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$, y $cb-ad = 1$, ($cb = ad + 1$). También asumo que $\frac{a}{b}$ $\frac{c}{d}$ son positivos.
1) Comience con la fracción $\frac{a+c}{b+d}$, vamos a $n$ $m$ indicar los cambios del numerador y el denominador, por lo que tenemos $\frac{a+c+n}{b+d+m}$ ($n$ y $m$ puede ser negativo). Queremos que sea entre las dos fracciones: $\frac{a}{b} < \frac{a+c+n}{b+d+m} < \frac{c}{d}$
2) Vamos a ver cuáles serán las consecuencias si la nueva fracción es mayor que $\frac{a}{b}$:
$\frac{a+c+n}{b+d+m} > \frac{a}{b}$
$b(a+c+n) > a(b+d+m)$
$ba+bc+bn > ba+ad+am$
$bc+bn > ad+am$
pero $bc = ad + 1$ por la definición, por lo que
$(ad + 1) + bn > ad + am$
$bn - am > -1$
Todas las variables que denotan los números naturales, por lo que si un número natural es mayor que -1 implica que es mayor o igual $0$.
$bn - am \geq 0$
3) Vamos a ver cuáles serán las consecuencias si la nueva fracción es menor que $\frac{c}{d}$:
$\frac{a+c+n}{b+d+m} < \frac{c}{d}$
...
$cm - dn \geq 0$
4) Tenemos dos ecuaciones, voy a llamar a ellos p-ecuaciones, ya que será la base para nuestra prueba (ambos tienen que ser a la derecha):
$bn - am \geq 0$
$cm - dn \geq 0$
5) Supongamos $\frac{a}{b} < \frac{a+c+n}{b+d+m} < \frac{c}{d}$. Lo $n$$m$? Se conjeturó que si $m$ es negativo, lo que para cualquier $n$ esta ecuación no sería correcto. En realidad si $m$ es negativo, $n$ sólo puede ser menos o igual a $0$, debido a que cuando el denominador es cada vez más pequeño, la fracción es cada vez más grande.
6) Supongamos que $m$ es negativo y $n = 0$. A continuación, el segundo p-ecuación no puede ser verdad:
$-cm - d\cdot 0 \geq 0 \implies -cm \geq 0$
7) Si n y m son negativos, el p-ecuaciones no pueden ser ambas verdaderas. Voy a deshacerse de los signos negativos de modo que podemos tratar a $n$ $m$ positiva:
$(-bn) - (-am) \geq 0$
$(-cm) - (-dn) \geq 0$
$am - bn \geq 0$
$dn - cm \geq 0$
Si algo es mayor o igual$0$, entonces podemos multiplicar por un número positivo, y aún será mayor o igual $0$, por lo que se multiplican por $d$$b$:
$d(am - bn) \geq 0$
$b(dn - cm) \geq 0$
$da\cdot m - dbn \geq 0$
$dbn - bc\cdot m \geq 0$
Pero $bc$ es mayor que $da$ por la definición. Ya se puede ver que las ecuaciones no pueden ser ambas verdaderas, pero voy a mostrar algebraicly:
por la definición de $bc = da + 1$, luego
$dam - dbn \geq 0$
$dbn - (da + 1)m \geq 0$
$dam - dbn \geq 0$
$dbn - dam - m \geq 0$
Si dos ecuaciones son mayor o igual $0$ que si les agregamos juntos, la suma todavía será mayor o igual $0$.
$(dam - dbn) + (dbn - dam - m) \geq 0$
$-m \geq 0$
Es imposible (cambié $n$ $m$ de lo negativo a lo positivo antes de jugar con signos negativos).
QED.
Si $n$ $m$ son positivos, el p-ecuaciones de las dos puede ser cierto, no voy a pasar por aquí, porque es irrelevante para nuestro problema. Pero es el sentido común que yo pueda elegir, tales grande $n$ $m$ a situar $\frac{a+c+n}{b+d+m}$ entre dos fracciones.
PS: tal vez mi prueba es demasiado engorroso, pero quiero saber que es correcto o no. También consejos de cómo hacer más simple, son muy apreciados.
