¿Qué es lo que $\pi$ y $e$ en la fórmula de la distribución normal?

Question

Soy un principiante en matemáticas y hay una cosa que me he preguntado últimamente. La fórmula de la distribución normal es:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\displaystyle{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}},$$

Sin embargo, ¿qué son $e$ y $\pi$ ¿haciendo allí? $\pi$ es sobre los círculos y la relación con su diámetro, por ejemplo. $e$ es sobre todo acerca de las funciones exponenciales, específicamente sobre el hecho de que $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^x = e^x$ .

Tengo la firme convicción de que las pruebas y los artículos están disponibles, pero ¿podría alguien arrojar algo de luz sobre esto y, por favor, explicar en un lenguaje más "informal" lo que significan aquí?

Tengo mucha curiosidad por saberlo, ya que esos números tienen significados muy diferentes en lo que a mí respecta.

Answer 1

Así que creo que quieres saber "por qué" $\pi$ y $e$ aparecen aquí a partir de una explicación que se remonta a los círculos y a los logaritmos naturales, que son los contextos habituales en los que se ven por primera vez.

Si ves $\pi$ crees que hay un círculo escondido en alguna parte. Y de hecho lo hay. Como se ha señalado, para que esta expresión dé una densidad de probabilidad se necesita $\int_{-\infty}^\infty f(x) \: dx = 1$ . (No estoy seguro de cuánto sabes sobre integrales -- esto sólo significa que el área entre la gráfica de $f(x)$ y el $x$ -es 1.) Pero resulta que esto se puede derivar de $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ .

Y resulta que esto es cierto porque el cuadrado de esta integral es $\pi$ . Ahora bien, ¿por qué el cuadrado de esta integral tiene que ver con los círculos? Porque es el volumen total entre la gráfica de $e^{-(x^2+y^2)}$ (en función de $g(x,y)$ de dos variables) y el $xy$ -Avión. Y por supuesto $x^2+y^2$ es simplemente el cuadrado de la distancia de $(x,y)$ desde el origen, por lo que el volumen que acabo de mencionar es rotacionalmente simétrico. (Si conoce la integración múltiple, vea la Artículo de Wikipedia "Integral gaussiana", bajo el título "Breve demostración" para ver este volumen trabajado).

En cuanto a dónde $e$ viene de quizás has visto que la densidad de probabilidad normal se puede utilizar para aproximar la distribución binomial. En particular, la probabilidad de que si volteamos $n$ monedas independientes, cada una de las cuales tiene una probabilidad $p$ de venir de cabeza, vamos a conseguir $k$ cabezas es $$ {n \choose k} p^{k} (1-p)^{n-k} $$ donde ${n \choose k} = n!/(k! (n-k)!)$ . Y luego está La aproximación de Stirling , $$ n! \approx \sqrt{2\pi n} (n/e)^{n}. $$ Así que si puedes ver por qué $e$ aparece aquí, ya ves por qué aparece en lo normal. Ahora, podemos tomar registros de ambos lados de $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$ para conseguir $$ \log (n!) = \log 1 + \log 2 + \cdots + \log n $$ y podemos aproximar la suma mediante una integral, $$ \log (n!) \approx \int_{1}^{n} \log t \: dt. $$ Pero la integral indefinida aquí es $t \log t - t$ y así obtenemos la integral definida $$ \log (n!) \approx n \log n - n. $$ Exponiendo ambos lados se obtiene $n! \approx (n/e)^n$ . Esto está fuera de lugar por un factor de $\sqrt{2\pi n}$ pero al menos explica la apariencia de $e$ -- porque hay logaritmos en la derivación. Esto ocurre a menudo cuando tratamos con probabilidades que implican muchos eventos porque tenemos que encontrar productos de muchos términos; tenemos una teoría bien desarrollada para sumas de números muy grandes de términos (básicamente, integración) que podemos enchufar tomando logaritmos.

Answer 2

Una de las operaciones importantes en probabilidad (continua) es la integral. $e$ aparece allí sólo porque es conveniente. Si lo reorganizas un poco obtienes $$ {1 \over \sqrt{2\pi \sigma^2}} (e^{1 \over 2\sigma^2})^{-(x-\mu)^2},$$ que deja claro que el $e$ es sólo un número conveniente que hace que la constante inicial sea relativamente sencilla; el uso de algún otro número en lugar de $e$ sólo reescala $\sigma$ de alguna manera.

El $\pi$ es un poco más difícil de explicar; el hecho que sólo hay que "saber" (porque requiere cálculo multivariante para demostrarlo) es que $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ . Esto se llama la integral de Gauss, porque Gauss la inventó. También es la razón por la que esta distribución (con $\mu = 0, \sigma^2 = 1/2$ ) se denomina distribución gaussiana. Por eso $\pi$ aparece en la constante, de modo que no importa los valores que se utilicen para $\sigma$ y $\mu$ , $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ .

Answer 3

Consideremos la forma más general $$ f(x) = C \alpha^{(x-\mu)^2}. $$ Para que sea una distribución de probabilidad, necesitamos $$ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx = 1. $$ Esto nos da una restricción. Dado esto, la media siempre será $\mu$ por simetría. Si queremos una varianza de $\sigma^2$ entonces necesitamos $$ \int_{-\infty}^\infty f(x) (x-\mu)^2 \, dx = \sigma^2. $$ Esto nos da otra restricción, y nos permite resolver para $C,\alpha$ y obtenemos la fórmula que has mencionado.

De forma más verborreica, si ignoramos $C$ entonces la segunda ecuación dice $$ \int_{-\infty}^\infty \alpha^{(x-\mu)^2} (x-\mu)^2 \, dx = \sigma^2 \int_{-\infty}^\infty \alpha^{(x-\mu)^2} \, dx. $$ En otras palabras, $$ \int_{-\infty}^\infty \alpha^{(x-\mu)^2} [(x-\mu)^2 - \sigma^2] \, dx = 0.$$ Claramente $\alpha$ no depende de $\mu$ , por lo que podemos poner $\mu=0$ : $$ \int_{-\infty}^\infty \alpha^{x^2} [x^2 - \sigma^2] \, dx = 0.$$ A partir de esto se puede calcular que $\alpha = \exp(-1/2\sigma^2)$ . Este cálculo utiliza implícitamente el hecho de que la integral indefinida de $\exp(x)$ es $\exp(x)$ .

Habiendo encontrado $\alpha$ podemos encontrar $C$ calculando otra integral. Hay un truco para hacer esto que evita el uso de residuos complejos. Este truco calcula el cuadrado de $$ \int_{-\infty}^\infty \exp(-x^2/2) \, dx $$ haciendo un cambio polar de variables. La cantidad $\pi$ resulta entonces la longitud del intervalo de ángulos - básicamente la longitud de la circunferencia de un círculo unitario.

Answer 4

No hay nada especial en $e$ aquí - sólo afecta a la escala horizontal de la función y hace que los cálculos sean más convenientes.

La parte interesante es $\pi$ . Cada vez que aparece se puede sospechar que en algún lugar hay círculos involucrados (y que pueden estar profundamente escondidos dentro de la estructura). Y, efectivamente, ¡este es el caso!

Para ser precisos, no estamos hablando de $\pi$ pero sobre $\sqrt{\pi}$ aquí. Así que los círculos aparecen cuando cuadras la función, lo que significa que subes una dimensión. De ello se deduce que para ver los círculos debemos mirar la curva normal bidimensional:

Al mirar las curvas de nivel, verás los círculos.

Esto quedará aún más claro cuando vea el gráfico de contorno.

Fuentes:
(1) Las parcelas se crearon con WolframAlpha .
(2) Se pueden encontrar todos los detalles sobre la derivación en este maravilloso (y fácil de seguir) libro: Curvas extrañas, conejos contados y otras exploraciones matemáticas Por Keith M. Ball, p. 100-105.

Answer 5

De Morgan y el Actuario

De Morgan estaba explicando a un actuario cuál era la probabilidad de que una determinada proporción de algún grupo de personas estuviera viva al final de un tiempo determinado; y citó la fórmula actuarial, que implica $\pi$ que, en respuesta a una pregunta, explicó que significaba la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Su conocido, que hasta entonces había escuchado la explicación con interés, le interrumpió y exclamó: "Mi querido amigo, eso debe ser un engaño, ¿qué puede tener que ver un círculo con el número de personas vivas en un momento dado?".

-- W.W.R. Ball
Recreaciones y problemas matemáticos (1896), 180; Véase también De Morgan's Budget of Paradoxes (1872), 172.

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