He reorganizado esta respuesta para resaltar la intuición en el complejo de la analítica caso, y cómo las dificultades que se encuentran en diferentes lugares en comparación con el algebraicas caso.
La cosa que hace Stein de la factorización de "intuitivo", creo que es el siguiente corolario III.11.3 en Hartshorne) el Teorema de las Funciones Formales:
Zariski la Conexión del Teorema. Si $f\colon X \to Y$ es un buen mapa de espacios complejos, $\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X$ es un isomorfismo, entonces las fibras $f^{-1}(y)$ están conectados para todos los $y \in Y$.
La razón por la que incluso la necesidad formal de funciones en el algebraicas prueba de este teorema es que la topología de Zariski es demasiado grueso, y por tanto, no podemos utilizar reales de abrir conjuntos para la construcción de una sección de $\mathcal{O}_X$ que no avanza a una sección en $\mathcal{O}_Y$. Por otro lado, la topología para el complejo de la analítica de los espacios (básicamente, rodeada de espacios localmente isomorfo a cero conjuntos de conjuntos de holomorphic funciones en un dominio en el $\mathbf{C}^n$) es lo suficientemente fina que podemos probar esto con bastante facilidad:
Prueba. En primer lugar, $f$ es surjective, y por lo $f^{-1}(y)$ es no vacío para todos los $y \in Y$. Ahora supongamos $f^{-1}(y)$ está desconectado; entonces, existe un abierto vecindario $U$ $f^{-1}(y)$ que está desconectado. Por la reducción de la vecindad, si es necesario, podemos suponer $U = U_1 \cup U_2$ tiene la forma $f^{-1}(V)$ $V$ un barrio de $y$ $Y$ (por el closedness de $f$; véase, por ejemplo, [Grauert–Remmert Lem. 2.3.1]), y que $U_1 \cap U_2 = \emptyset$. La sección de $\mathcal{O}_X$ $1$ $U_1$ $0$ $U_2$ da una sección de $\varphi$ $\mathcal{O}_Y$ $V$ por el isomorfismo $\mathcal{O}_Y \overset{\sim}{\to} f_*\mathcal{O}_X$; esto es una contradicción ya que el $\varphi(y) = 0$ y $\varphi(y) = 1$. $\blacksquare$
Siempre este hecho, las sutilezas en el complejo de la analítica de caso en realidad son cosas que en la geometría algebraica, a menudo damos por sentado. Los dos resultados más importantes son:
Grauert la Imagen Directa del teorema [Grauert–Remmert, Thm. 10.4.6].. Si $f\colon X \to Y$ es adecuada, y $\mathscr{F}$ es un coherentes $\mathcal{O}_X$-módulo, a continuación, $f_*\mathscr{F}$ es un coherentes $\mathcal{O}_Y$-módulo.
Nota: esto es para más imágenes directas así, pero el punto es que la prueba es sorprendentemente difícil. Por otro lado, para Hartshorne (en la proyectiva caso, esta de la siguiente manera (en Cor. II.5.20) por el hecho de que (en el notherian caso) el empuje hacia delante de una forma cuasi coherente gavilla es cuasi-coherente, y el módulo de global secciones en un esquema proyectivo es finitely generado sobre el anillo de la base.
El otro central, el resultado es:
Remmert la Asignación Correcta Teorema [Grauert–Remmert, Thm. 10.6.1]. Si $f\colon X \to Y$es correcto, entonces el conjunto de imágenes $f(X)$ es una analítica subconjunto de $Y$.
Este es un corolario directo de la Imagen Directa del teorema (desde $f(X) = \operatorname{Supp} f_*(\mathcal{O}_X)$ es analítica), pero puede ser probado de forma independiente mediante la extensión del teorema de Remmert–Stein. En cualquier caso, las pruebas parecen ser mucho más sutil que en Hartshorne, Exc. II.4.4, donde se ha demostrado el mismo resultado en el contexto algebraico.
Con los hechos por encima de usted puede probar que el Stein teorema de factorización exactamente de la misma manera como, por ejemplo, en Hartshorne, Cor. III.11.5. Lo que es bueno, sin embargo, es que la intuición de que el Stein de la factorización de la primera de los contratos de componentes conectados de fibras de puntos, y a continuación se da un número finito de la cubierta de su destino, es realmente cierto.
Así que supongo que tienes un buen de morfismos $f\colon X \to Y$ de espacios complejos. Se define un conjunto de nivel de $f$ a cualquier componente de la fibra,$f^{-1}(y)$$y \in Y$. Denota el conjunto de los conjuntos de nivel de $f$$Y'$, y deje $p \colon Y' \to Y$ ser el natural mapa de tomar un conjunto de nivel en $f^{-1}(y)$$y$.
Ahora se asigna a cada una de las $x \in X$ el componente conectado de $f^{-1}(f(x))$ que contiene $x$, y llamar a este mapa de $f'\colon X \to Y'$. Luego tenemos la factorización
$$X \overset{f'}{\longrightarrow} Y' \overset{p}{\longrightarrow} Y$$
El mapa de $f'$ es surjective, y así podemos dotar $Y'$ con el cociente de la topología. A continuación, $f'$ es adecuada, y $p$ es finita mapa continuo (se ha finito fibras y es correcto). Ahora dará $Y'$ la estructura de un espacio anillado dejando $f_*'(\mathcal{O}_X)$ su estructura gavilla. En esta configuración, tenemos las siguientes
Teorema [Bănică–Stănăşilă, Thm. III.2.12]. El espacio anillado $(Y',f_*'(\mathcal{O}_X)$ es un espacio complejo, y es isomorfo a $Z := \operatorname{\mathbf{Spec}} f_*\mathcal{O}_X$.
En el reducido caso, desentrañar la definición de $\operatorname{\mathbf{Spec}} f_*\mathcal{O}_X$ da aún más explícita descripción de la factorización de la siguiente manera, siguiendo [Campana–Narasimhan, Thm. 2.10].
En primer lugar, desde $f_*(\mathcal{O}_X)$ es coherente como un $\mathcal{O}_Y$-módulo de Grauert la Imagen Directa del teorema, para cualquier $y \in Y$ hay un barrio $U$ tal que $f_*(\mathcal{O}_X)$ es generado por holomorphic funciones de $h_1,\ldots,h_k$$\mathcal{O}_Y$. A continuación, el mapa de $g_U\colon f^{-1}(U) \to U \times \mathbf{C}^k$ donde $x \mapsto (f(x),h_1(x),\ldots,h_k(x))$ es adecuada y su imagen es una analítica subconjunto $Z_U$ por Remmert la Asignación Correcta teorema. El $h_j$ son constantes de los componentes conectados de fibras de $f$ a un máximo del módulo de principio, y por lo que la restricción de la proyección de $U \times \mathbf{C}^k \to U$ $Z_U$es finito. Usted puede, a continuación, pegar estos $Z_U$ juntos para obtener el espacio de $Z$.
