Abiertas, cerradas y densos conjuntos - ejemplos

Question

Actualmente estoy aprendiendo los conceptos básicos de análisis funcional y quería saber si he entendido bien los conceptos básicos. Por lo tanto, yo estaría muy agradecido por la verificación de mis pruebas de un par de ejercicios sencillos.

Deje $X:=C[a,b]$ donde$-\infty<a<b<\infty$$||u||:=max_{a\leq x \leq b}|u(x)|$. Tenemos que demostrar que:

a) $M:=\{ u\in X: u(a)>0 \}$ es un proceso abierto, no denso subconjunto de $X$.

b) $M:= \{ u\in X: u(a) = 1 \}$ es cerrado, no densa subconjunto de $X$.

c) $M:= \{ u\in X: u(x)=0 \text{ on } [c,d] \}$ no es denso proporcionado $a\leq c < d \leq b$.

Ad. a)

$M$ es abrir el fib $\forall u \in M$ $\exists \epsilon > 0$ s.t $\epsilon$-el barrio $U_{\epsilon}(u)$ ($U_{\epsilon}(u):= \{ v\in X: ||v-u||<\epsilon \}$) de $u$ está contenido en $M$. Si $||v-u||<\epsilon$, entonces implica que $$ |v(a)-u(a)|<\epsilon, $$ así que si tomamos $\epsilon>0$ tal que $u(a)-\epsilon >0$, entonces para todos los $v \in X$ satisfacción $||v-u||<\epsilon$ tendremos $$ u(a)-\epsilon<v(a)< u(a) + \epsilon \implica que 0<u(a)-\epsilon < v(a), $$ por lo $v \in M$ e lo $U_{\epsilon}(u) \subseteq M$. Para la densidad de la parte observa que el $\bar{M} = \{ u\in X: u(a)\geq0 \}$ y, por tanto, $\bar{M}\neq X$ (porque hay funciones de $v \in X$ tal que $v(a)<0$), de manera que M no es denso.

Ad. b)

Tomar alguna secuencia $\{ u_{n} \} \subset M$ tal que $u_n \to u$$n \to \infty$. Entonces, por el sup norma, $u_n \to u$ de manera uniforme y por lo tanto la función de limitación $u$ es continua. Por lo tanto podemos tomar el límite y obtener $$ u_{n}(a)=1 \quad \forall n\in\mathbb{N} \implica que u(a) = 1, $$ por lo $u\in M$, que es equivalente al conjunto de $M$ está cerrado. Entonces, desde el $M$ es cerrado tenemos $M=\bar{M}$ y, por supuesto,$\bar{M}\neq X$, lo $M$ no es denso.

Ad. c)

Desde $M$ es cerrado tenemos $M=\bar{M}$ y, por supuesto, $\bar{M}\neq X$ (ya que hay funciones continuas en $X$ que puede tomar un valor distinto de cero valores en cualquier intervalo de tiempo dado $[c,d]$)

Yo estaría muy agradecido por cualquier comentario estoy todavía aprendiendo los conceptos básicos y quieren saber que yo los entiendo bien.

Answer 1

Sus soluciones son grandes. Sólo dos pequeños comentarios:

1. Para $(a)$, es necesario justificar el porqué $\overline{M}$$\{ u(x) \, | \, u(a) \geq 0 \}$. Sin embargo, para deducir que el $M$ no es densa, es suficiente para demostrar aún más fácil la declaración de que $\overline{M} \subseteq \{ u(x) \, | \, u(a) \geq 0 \}$. Esto es porque si $u_n \in M$ $u_n \to u$ $u_n$ converge a $u$ de manera uniforme y, en particular, hemos pointwise convergencia para $u(a) = \lim_{n \to \infty} u_n(a)$ y cada una de las $u_n(a) > 0$ por lo que el límite satisface $u(a) \geq 0$.
2. Para $(c)$, usted necesita otra vez para justificar la afirmación de que $M$ es cerrado. Esto es nuevo porque la convergencia uniforme implica pointwise convergencia.