¿Por qué reducir y cant fila el mismo Eigen valores?

Question

Un ejemplo es:

$$A= \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \leftrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end-{bmatrix} \leftrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & -10 \end-{bmatrix} = H $$

La fila de las operaciones que he usado son $$(1) R_1 \leftrightarrow R_2$$

$$(2) -3R_1 + R_2 \to R_2$$

La matriz original

$$|A - \lambda I| = (\lambda-2)(\lambda-5) $$

La reducción de la matriz:

$$|H - \lambda I| = -(1-\lambda)(-10-\lambda) $$

¿Por qué son diferentes?

Para un par de preguntas, este estaba trabajando

EDIT: UNA matriz que dio el mismo eigen valor como la reducción de:

$$A= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 6 & 4 & -3 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \leftrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 9 & 4 & -3 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \leftrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 9 & 4 & -12 \\ -1 & 0 & 4 \end{bmatrix} = H $$

Operaciones de columna se $$-C_3 + C_1 \to C_1$$

$$-C_1 + C_3 \to C_3$$

Los eigen valores son los mismos para Una y H

Answer 1

No hay ninguna razón por la que este funcionará porque la fila de operaciones de no preservar la similitud y por lo tanto, puede cambiar los valores propios. Más explícitamente, mediante la realización de operaciones de fila se mueve de una matriz de $A$ a una matriz de $PA$ donde $P$ es invertible y, en general, $PA$ no es similar a $A$.

Para ver esto más explícita aún, suponga que $A$ es diagonal con entradas de $(1,0)$ y multiplicar la primera fila por $2$. Claramente los autovalores de la matriz resultante será $(2,0)$ mientras que los de la matriz original se $(1,0)$.

Answer 2

Los valores propios de una matriz son las soluciones del polinomio $$ \det (\lambda A I) = 0 $$ no la solución de $$ \det (SA-\lambda I) = 0 $$ $S$ Dónde está el producto de un montón de matrices elementales. Cuando la fila se reduce, se multiplican a la izquierda (generalmente) por una matriz inversible. Los polinomios anteriores no en general tendrán sus raíces coinciden.