Si $a^3+a^2+a=9b^3+b^2+b$ y $a,b$ son números enteros entonces Mostrar $a-b$ es un cubo perfecto.

Question

Si $a^3+a^2+a=9b^3+b^2+b$ y $a,b$ son números enteros entonces Mostrar $a-b$ es un cubo perfecto.

Mi intento: factorizar como abajo:

$(a-b)(a^2+b^2+ab+a+b+1)=8b^3=(2b)^3$

Tomo $gcd(a-b,a^2+b^2+ab+a+b+1)=d$

Si un $d=1$ $a-b$ entonces es claro que $d>1$ es un cubo perfecto entonces considerar $p$ entonces hay es primer y $p \mid d$. Tenemos:

$p\mid a-b \Rightarrow p \mid (2b)^3 \Rightarrow p \mid 2b \Rightarrow p\mid 2 or p\mid a$

Si $p\mid a$ $p\mid b$ entonces se llega a $p \mid 1$, que es claramente erróneo entonces tenemos $p\mid 2$ pero luego no puedo llegar a ningún resultado que mostrar se puede $p$ $2$

Answer 1

De OP, tenemos $(a-b)(a^2 + b^2 + ab + a + b + 1) = (2b)^3$

Mediante la adición de $8a^3$ a ambos lados de la ecuación original y reordenando, obtenemos

$(a-b)(9a^2 + 9b^2 + 9ab + a + b + 1) = (2a)^3$

Tenemos que mostrar, $d = gcd(a-b, a^2+b^2+ab +a+b+1) = gcd(a-b, 9a^2+9b^2 +9ab+a+b+1) = 1$

$d = gcd(a^2+b^2+ab +a+b+1, 9a^2+9b^2 +9ab+a+b+1)$

$d = gcd(a^2+b^2+ab +a+b+1, 8(a+b+1))$

$a, b$ son ambos pares o ambos, incluso

Si $a, b$ son impares, a continuación, $d$ es un múltiplo de a$2$, en cuyo caso $a-b = 8$ desde $a-b$ $b$ no tienen en común un factor principal.

Si $a,b$ son iguales, entonces

$d = gcd(a^2+b^2+ab, a+b+1) = gcd(a-b,a^2+b^2+ab)$ Sin embargo, $gcd(a^2+b^2+ab, a+b+1)$ no es un múltiplo de a $2$

y

$gcd(a-b,a^2+b^2+ab)$ es un múltiplo de a $2$

Así suposición de que $a,b$ tanto aún es incorrecta.