¿Es este patrón (engañoso) de casualidad?

Question

Me he encontrado con este bonito patrón de inicio: $$\begin{align} 1^2-2^2+3^2 &= 6\\ 1^4-2^4+3^4 &= 66\\ 1^6-2^6+3^6 &= 666\\ \end{align}$$ He leído por ahí que la tercera línea, me acordé de que yo ya sabía que el primero, yo inmediatamente probado el segundo y pensé, "eureka, hay un patrón!". Yo ya estaba con la esperanza de ser capaz de encontrar una explicación cuando me di cuenta de que el siguiente sería el término no sigue la "regla" ($1^8-2^8+3^8=6306$). Ahora, que carecen de un patrón, yo no necesito una prueba. Sin embargo, me resulta difícil creer que esas tres líneas puede ser mera coincidencia. Me pregunto si algún tipo de "razón" de todos modos puede ser encontrado (para ellos son lo que son, y para la próxima que no lo siguiente).

Gracias!

Answer 1

Por el momento parece que esta es una "ayuda coincidencia". Gracias a Thomas Andrews sé que las expresadas cantidades son congruentes a $6$ mod $60$, y esto reduce significativamente los resultados posibles, por lo que los números como $66$ $666$ ya no parecen increíblemente afortunado.

Gracias a Greg Martin es fácil entender por qué el patrón no podía durar para siempre. Voy a escribir el término general de la pauta $$1^{2n}-2^{2n}+3^{2n} \stackrel{?}{=} 6\cdot\sum_{k=0}^{n-1}10^k$$ Dividiendo por $10^n$ se puede ver que el lado derecho tiende a $2/3$: $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{6}{10^n}\cdot\sum_{k=0}^{n-1}10^k = 6\cdot\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{10}\right)^{n-k}= 6\cdot\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{d=1}^{n}\left(\frac{1}{10}\right)^d=6\cdot\frac{1}{9}=\frac{2}{3}$$ mientras que el lado izquierdo tiende hacia $0$ ( $\sim(3^2/10)^n$ ), tener una oportunidad de ser igual para el lado derecho sólo por poco $n$'s. He hecho un complot para mostrar esto, el cambio a $x$, donde uno puede ver la suerte de intercepciones en $(1,0.6)$, $(2,0.66)$ y $(3,0.666)$, mientras que después de los que las curvas se separan definitivamente. Ver las siguientes imágenes.

Me encanta Pedro, la observación de que $6$, $66$ y $666$ son números triangulares, mientras que $6666$ no es, pero yo no veo un enlace a la pregunta original.