¿Cuál es un ejemplo de dos k-álgebras que son isomorfas como anillos, pero no como k-álgebras?

Question

Sea $k$ sea un campo. Sea $A$ y $B$ ser dos $k$ -es decir, dos anillos que también son $k$ -y su multiplicación es $k$ -bilineal.

Cualquier isomorfismo de $k$ -es también un isomorfismo de anillo, por lo que si $A$ y $B$ son isomorfos como $k$ -son isomorfas como anillos.

Yo diría que lo contrario falla. ¿Hay algún ejemplo de $A$ y $B$ que son isomorfos como anillos, pero no como $k$ -¿álgebras?

La razón por la que he planteado esta pregunta es la siguiente. Dos variedades afines son isomorfas si y sólo si sus anillos de coordenadas son isomorfos como $k$ -álgebras. Me interesa encontrar un ejemplo en el que los anillos de coordenadas sean isomorfos como anillos, pero las variedades no lo sean.

Answer 1

Sea $\sigma : k \to k$ cualquier homomorfismo. Por restricción de escalares, obtenemos a $k$ -álgebra $A$ cuyo anillo inferior es sólo $k$ . Pero $A$ es isomorfo a $k$ como $k$ -si y sólo si $\sigma$ es un isomorfismo.

En términos más generales: Que $A$ sea un anillo conmutativo y $f,g : k \to A$ sean dos homomorfismos. Éstos pueden considerarse como dos $k$ -álgebras. Los anillos subyacentes son igual a $A$ . Pero el $k$ -son isomorfas si y sólo si existe un automorfismo $h : A \to A$ tal que $hf = g$ . El primer párrafo trata del caso especial, un tanto patológico $A=k$ y $f=\mathrm{id}, g=\sigma$ . Pero, por supuesto, también hay muchos otros ejemplos (a menos que $k$ es un campo primo o algo similar).

Por ejemplo, consideremos las dos incrustaciones $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \rightrightarrows \mathbb{R}$ dada por $\sqrt{2} \mapsto \pm \sqrt{2}$ . No se diferencian por un automorfismo de $\mathbb{R}$ ya que $\mathrm{End}(\mathbb{R})=\{\mathrm{id}\}$ .

Answer 2

Para $t \in k$ , dejemos que $A_t$ sea $k$ visto como el $k(x)$ -inducida por $x \to t$ .

Entonces, para cualquier $k(x)$ -isomorfismo de álgebra $\varphi: A_s \to A_t$ tenemos:

$$ s = s \cdot 1 = s \cdot \varphi(1) = \varphi(s \cdot 1) = \varphi(x \cdot 1) = x \cdot \varphi(1) = t \cdot 1 = t$$