Demostrar que en una circunferencia arbitraria, el punto de la circunferencia más cercano al origen debe estar en la recta prolongada que une el centro de la circunferencia con el origen.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Lissome
Puntos
31
Caso 1: $O$ fuera.
Dejemos que $P$ sea cualquier punto del círculo, y $C$ el centro. Por la desigualdad del triángulo
$$PO \geq CO-PC= CO-R$$
con igualdad si y sólo si $CPO$ colineal en este orden.
Así, el mínimo de $PO$ es exactamente $CO-R$ y se alcanza exactamente cuando $P$ es la intersección de $CO$ con el círculo.
Caso 2: $O$ en el círculo. El problema es evidente.
Caso 3: $O$ dentro pero $o \neq C$ . Exactamente como en el primer caso, por la desigualdad del triángulo
$$PO \geq PC-CO=R- CO \,,$$ y el resto es idéntico al primer caso.
Caso 4 $O=C$ El problema no tiene sentido.
DonAntonio
Puntos
104482
1.- Si el centro de la circunferencia dada es el origen entonces no hay nada que demostrar: todos los puntos de la circunferencia son equidistantes al origen;
2.- En caso contrario, dibujar una circunferencia (llamémosla TC = circunferencia tangente) con centro en el origen y tangente, interna o externamente, a la dada (llamémosla OC=circunferencia original).
Preste atención al hecho de que en este caso la distancia mínima del CO al origen es precisamente el radio del CT (un diagrama le ayudará mucho a comprobar este hecho trivial), y como el único el punto del CO cuya distancia al origen es igual a este radio es el punto de tangencia de ambas circunferencias, ¡hemos terminado!
Por supuesto, lo anterior no es más que una reformulación del conocido teorema de la geometría euclidiana:
Teorema: Si dos circunferencias son tangentes entre sí, la recta que une sus centros pasa por su punto de tangencia.
Sea la ecuación del círculo $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Así, cualquier punto del círculo puede ser $P(r\cos \theta+a,r\sin \theta+b)$
Si la distancia $(d)$ desde el punto $(r\cos \theta+a,r\sin \theta+b)$ desde el origen,
$d^2=(r\cos \theta+a)^2+(r\sin \theta+b)^2=r^2+a^2+b^2+2r(a\cos \theta+b\sin \theta)=r^2+a^2+b^2+2r\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\arctan\frac b a)$
Esto será mínimo si $\cos(\theta-\arctan\frac b a)=-1$ $\implies \theta-\arctan\frac b a=(2n+1)\pi$ donde $n$ es un número entero cualquiera.
Así que, $\tan \theta=\tan\{(2n+1)\pi+\arctan\frac b a\}=\frac b a\implies b\cos \theta=a\sin \theta$
Ahora el área del triángulo con vértices $(0,0),(a,b),(r\cos \theta+a,r\sin \theta+b)$ es $$\frac 1 2\det\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ r\cos \theta+a & r\sin \theta+b & 1 \\ a & b&1\end{pmatrix}=\frac 12 \left(b(r\cos \theta+a)-a(r\sin \theta+b)\right)=\frac{r(b\cos \theta-a\sin \theta)}2=0$$
Así que, $(0,0),(a,b),(r\cos \theta+a,r\sin \theta+b)$ son colineales para la distancia mínima de $P$ desde el origen $O(0,0)$ para cualquier $a,b,r$ .
Una pequeña generalización:
Si la distancia de $P(r\cos \theta+a,r\sin \theta+b)$ de $Q(c,d)$ es $D,$
$D^2=(r\cos \theta+a-c)^2+(r\sin \theta+b-d)^2$ $=r^2+(a-c)^2+(b-d)^2+2r\{(a-c)\cos \theta+(b-d)\sin \theta\}$
Aplicando el mismo método, la distancia mínima será $(b-d)\cos \theta=(a-c)\sin \theta$
Ahora el área del triángulo con vértices $(c,d),(a,b),(r\cos \theta+a,r\sin \theta+b)$ es $$\frac 1 2\det\begin{pmatrix} c & d & 1 \\ r\cos \theta+a & r\sin \theta+b & 1 \\ a & b&1\end{pmatrix}$$ $$=\frac 12\det\begin{pmatrix} c-a & d-b & 1-1 \\ r\cos \theta+a-a & r\sin \theta+b-b & 1-1 \\ a & b&1\end{pmatrix}=\frac{r\{(a-c)\sin\theta-(d-b)\cos\theta\}}2=0$$
Brian Deacon
Puntos
4185
Sea el origen $O$ y el centro del círculo sea $C$ .
-
Para $O$ en la circunferencia, hemos terminado. Para $O=C$ La afirmación, tal y como se ha dado, es vacía (como señala @Henning) porque no existe " el Línea [única] que conecta [ $C$ ] y [ $O$ ]".
-
Para $O\ne C$ en el interior del círculo, que $P$ sea el punto donde el rayo $CO$ se encuentra con la circunferencia del círculo, y que $Q\ne P$ sea cualquier otro punto de la circunferencia. $\triangle CPQ$ es isósceles con ángulos agudos en $P$ y $Q$ como punto $O$ se encuentra entre $C$ y $P$ , rayo $QO$ se encuentra entre los rayos $QC$ y $QP$ para que $\angle OQP < \angle CQP \cong \angle OPQ$ . Por lo que me gusta llamar el "Teorema de los tres osos" aplicado a $\triangle OPQ$ Debemos tener $|OP| < |OQ|$ .
-
Para $O$ en el exterior del círculo, con $P$ y $Q$ como se ha descrito anteriormente, $\triangle CPQ$ es de nuevo isósceles con, necesariamente, un ángulo agudo en $P$ por lo tanto, $\triangle OPQ$ tiene un ángulo obtuso en $P$ para que los Tres Osos vuelvan a darnos $|OQ|>|OP|$ .
[El "Teorema de los tres osos": El ángulo del Papá Oso es opuesto al lado del Papá Oso; el ángulo de la Mamá Osa es opuesto al lado de la Mamá Osa; y el ángulo del Bebé Oso es opuesto al lado del Bebé Oso.
Usuario no registrado
Puntos
0
Me gustaría enfocar esto como un problema de optimización.
La ecuación del círculo de radio r es $(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 \ge 0$ . Para cualquier punto del círculo $(x_1, y_1)$ tal que $(x_1-a)^2+(y_1-b)^2 = r^2$ la distancia entre este punto y el origen es $d$ tal que $d^2 = x_1^2+y_1^2$ . La tarea consiste en demostrar que el problema de optimización
$$\min_{X\in\mathbb R} \left\{\begin{array}{ll} f(x_1,y_1)=x_1^2+y_1^2\\ \text{s.t.}\\ g(x_1, y_1)=(x_1-a)^2+(y_1-b)^2 = r^2\\ \end{array} \right.$$ dar una solución $(x', y')$ que cae sobre la línea que une el centro y el origen; $ay=bx$ es decir, debe satisfacer $$ay'=bx' $$
La función $f(x_1,y_1)$ es convexa y la función de restricción $g(x_1, y_1)$ también es convexo, por lo que existe un mínimo global del problema. Utilizando el multiplicador de Lagrange,
$$\Lambda(x_1,y_1,\lambda) = f(x_1,y_1) + \lambda \cdot \Big(g(x_1,y_1)-r^2\Big)$$ $$\Lambda(x_1,y_1,\lambda) = x_1^2+y_1^2+\lambda \Big((x_1-a)^2+(y_1-b)^2 -r^2 \Big)$$ $$\Lambda(x_1,y_1,\lambda) =x_1^2+\lambda x_1^2+y_1^2+\lambda y_1^2-2 a \lambda x_1-2 b \lambda y_1+(a^2+b^2-r^2)\cdot\lambda$$ $$\nabla_{x_1, y_1, \lambda}\Lambda = 0$$ nos dará una serie de ecuaciones y resolvemos para $x_1$ , $y_1$ y $\lambda$ para conseguir
$$\begin {array}{ll} x_1 = a\lambda /(\lambda+1)\\ y_1 = b\lambda /(\lambda+1)\\ (a-x_1)^2+(b-y_1)^2-r^2 =0 \\ \end{array}$$
el último da $$\lambda=\pm \sqrt{\cfrac{a^2+b^2}{r^2}}-1$$ con valores equivalentes para $x_1$ y $y_1$ $$x_1=a\left (1\pm\sqrt{\cfrac{r^2}{a^2+b^2}} \ \right)$$ $$y_1= b\left (1\pm\sqrt{\cfrac{r^2}{a^2+b^2}} \ \right)$$
En función del triplete $(a, \ b, \ r)$ tenemos los puntos máximos y mínimos.
Para las parejas $(x_1, y_1)$ es evidente que $$ay_1 = a\cdot b\left (1\pm\sqrt{\cfrac{r^2}{a^2+b^2}} \ \right)=b\cdot a\left (1\pm\sqrt{\cfrac{r^2}{a^2+b^2}} \ \right) = bx_1$$ que satisfacen la condición anterior.
La línea no sólo contiene el punto que da la mínimo distancia, sino también el punto que da la máximo distancia al origen.
