Es la gavilla de diferenciales en una curva elíptica sobre $R$ con una ecuación de Weierstrass libre?

Question

Dejemos que $R$ sea un dominio integral y $E\stackrel{f}{\rightarrow}\text{Spec }R$ sea una curva elíptica dada por

$$E := \text{Proj }R[x,y,z]/(y^2z + a_1xyz + a_3yz^2 = x^3 + a_2x^2z + a_4xz^2 + a_6z^3)$$ donde $a_i\in R$ .

¿Existe un diferencial de desvanecimiento en ninguna parte en $E/R$ ? Es decir, ¿es $f_*\Omega_{E/R}$ ¿Gratis? (isomorfo a $\tilde{R}$ ?)

Si $R$ es un campo, entonces el lenguaje de Silverman parece bastante sencillo y permite calcular que $\omega := \frac{dx}{2y+a_1x + a_3}$ es holomorfa y no evanescente, por lo que es una base para $f_*\Omega_{E/R}$ en este caso. Sin embargo, no me parece que tenga el lenguaje adecuado para discutir los diferenciales cuando $R$ no es un campo.

Answer 1

Ah, vale, entonces, como señaló Epargyreus, podemos reducir al caso de $R$ un campo como el siguiente.

Hay algunos pasos.

1. Primero, $f_*\Omega_{E/R}$ es una gavilla invertible sobre $R$ . Esto parece ser un hecho no trivial, que parece provenir de la dualidad Serre-Grothendieck.

2. Si $M$ es un módulo localmente libre de rango 1 sobre un anillo $R$ y existe alguna $m\in M$ tal que para cada primo $p\in\text{Spec }R$ la imagen de $m$ en el tallo $M_p$ es un generador de $M_p$ como un libre $R$ -de rango 1, entonces $M$ es gratis. Para ver esto, simplemente considera la secuencia exacta $$0\rightarrow R\rightarrow M\rightarrow M/R\rightarrow 0$$ donde el primer mapa envía $1\mapsto m$ . Por la suposición, los tallos del cociente $M/R$ son todos 0, lo que implica que $M/R = 0$ Así que $R\cong M$ , es decir $M$ es gratis.

3. Dejemos que $m\in M$ . Para un primer $p\in\text{Spec }R$ , dejemos que $m_p$ sea la imagen de $m$ en la localización $M_p$ . Entonces, según Nakayama, si $m_p$ es distinto de cero en $M_p/pM_p$ entonces $m_p$ genera $M_p$ .

Aplique lo anterior a $M := f_*\Omega_{E/R}$ y $m := $ " $\frac{dx}{2y+a_1x + a_3}$ '', utilizando el hecho de que $\frac{dx}{2y+a_1x+a_3}$ es un generador para la fibra de $f_*\Omega_{E/R}\otimes k(x)$ en cada $x\in\text{Spec }R$ (es decir, una diferencial holomórfica que no desaparece en ninguna parte en $E$ en $k(x)$ )