Alrededor de un pequeño error en Eisenbud ' s álgebra conmutativa: ¿Qué hace $k(x)\otimes k(x)$ parece?

Question

En Prof. Eisenbud del Álgebra Conmutativa con un punto de vista ... libro, en el Apéndice A1 p. 564 en su prueba de un resultado de Maclane dijo que si $L$ es una extensión de un campo de $k$, $L\otimes_k k(x_1,\cdots,x_n)=L(x_1,\cdots,x_n)$ cual es el campo de funciones racionales sobre $L$ $n$ variables. Sin embargo, un resultado de A. Grothendieck es que $$\dim_{Krull}(L\otimes_k K)=\min (trdeg_k(K),trdeg_k(L))$$ meaning that if $L$ is for instance a transcendental extension of $k$, $L\otimes_k k(x_1,\cdots,x_n)$ no puede ser un campo.

Hay algo que no entiendo aquí. ¿Qué es ?

Edit: para guardar la prueba de que el resultado de MacLane es que me parece que es suficiente para decir que $L\otimes_k k(x_1,\cdots,x_n)$ es una localización de $L\otimes_k k[x_1,\cdots,x_n]=L[x_1,\cdots,x_n]$, lo que es claramente reducida. Estoy en lo cierto ?

Edit2: a raíz de los debates en el comentario, ahora estoy curioso de saber la estructura de $k(x)\otimes_k k(x)$. Alguien puede describir simplemente a mí sin el producto tensor ? Al menos debería ser un dominio ...

Edit3 : Soy yo el derecho a escribir que $L\otimes_k k(x_1,\cdots,x_n)=(k[x_1,\cdots,x_n]-(0))^{-1}L[x_1,\cdots,x_n]$ ?

Answer 1

@brunoh (he puesto esto como un - parcial - respuesta, ya que es demasiado largo para un comentario) [Y por la forma de cómo se hace el producto tensorial $k(x)\otimes_k k(x)$?] -- > Tiene un fácil combinatoria descripción de $k(x)\otimes_k k(x)$: es, a través de la flecha $\varphi:\ k(x)\otimes_k k(x)\rightarrow k(x,y)$ (que resulta ser una incrustación de objetos), la sub-álgebra $k[x,y]S^{-1}$ donde $S$ es el multiplicativo semigroup generado por los polinomios irreducibles en $k[x]$ y los polinomios irreducibles en $k[y]$ o, de manera equivalente, las fracciones de la forma $$\frac{P(x,y)}{Q_1(x)Q_2(y)}\ ;\ Q_i\not\equiv 0\ .$$ Al $k$ es algebraicamente cerrado, esto es fácil ver como el estándar de la fracción parcial de la descomposición de la base se lee $$\{x^n\}_{n\geq 0}\sqcup \{\frac{1}{(x-a)^n}\}_{a\in k\atop n\geq 1}\ .$$ Llamar a $B$ esta base, se acaba de comprobar que la imagen por $\varphi$ $B\otimes B$ es linealmente independiente, lo que parece ser una rutina. Al $k$ no es algebraicamente cerrado, tienes que combinar los elementos de la base $B$ para obtener una base de $k(x)$ que se lee, en este caso $$\{x^n\}_{n\geq 0}\sqcup \{\frac{x^m}{P^n}\}_{P\in Irr(k[x])\atop m<deq(P),\ n\geq 1}\ .$$
y proceder como en el anterior.

Answer 2

Para complementar la respuesta de Gérard Duchamp, me gustaría dar un poco más general prueba a mi propia pregunta, corrección que hice en mi último comentario

We have $$L\otimes_k k(x)=L\otimes_k (k[x]\otimes_{k[x]} k(x))$$ $$=(L\otimes_k k[x])\otimes_{k[x]} k[x]_{(0)}$$ $$=L[x]\otimes_{k[x]} k[x]_{(0)}$$ $$=(k[x]-{0})^{-1}L[x]$$