Actualmente estoy tratando de entender la siguiente parte de una secuencia de comandos (traducido del alemán al inglés). Es la primera parte donde los cuaterniones de introducción, así que no sé nada acerca de ellos, excepto lo que está escrito allí:
Cuaterniones son una ampliación del concepto de números complejos en estructuras con cuatro (en lugar de dos) de los componentes. Un quaterion $h$ puede ser escrito como un vector o en el formulario de $h = h_0 + ih_1 + j h_2 + > kh_3$, where $i$, $j$ and $k$ are related to the $i$ en el complejo números. En consecuencia, $h_0$ a menudo se llama la parte real y la $h_1, h_2, > h_3$ se llama parte imaginaria de un quaternion.
Para $i$, $j$ y $k$ se aplican las siguientes reglas:
$$i^2 = j^2 = k^2 = -1$$ $$ijk=-1$$
A partir de estas reglas de la siguiente manera:
$\begin{align} ij &= k\\ ji &= -k\\ jk &= i\\ kj &= -i\\ ki &= j\\ ik &= -j \end{align}$
No entiendo por qué estas reglas a seguir.
Mis pensamientos
$ij = k$ $jk = i$
$$\begin{align} ijk &= -1\\ \Leftrightarrow ijk \cdot (k^3) &= (-1) \cdot (k^3)\\ \Leftrightarrow ij \cdot (-1) \cdot (-1) &= (-1) \cdot (-1) \cdot k\\ \Leftrightarrow ij &= k \end{align}$$
Consigue $jk = i$ con la misma idea.
$-j = ik$ $-k = ji$
$$\begin{align} ij &= k\\ \Leftrightarrow iij &= ik\\ \Leftrightarrow -j &= ik \end{align}$$
consigue $-k = ji$ con la misma idea.
Pregunta
¿Por qué es $ki=j$$kj = -i$?
Primero pensé que podía prueba como esta:
$\begin{align} -k &= ji\\ \Leftrightarrow (-1) \cdot ki &= jii\\ \Leftrightarrow (-1) \cdot ki &= j \cdot (-1)\\ \Leftrightarrow ki &= (-1) \cdot j \cdot (-1)\\ \stackrel{*}{\Leftrightarrow} ki &= j \end{align}$
Pero para la última transformación * I tendría conmutatividad. Obviamente, $ij \neq ji$ así que ¿cómo puedo saber que $(-1) \cdot j = j \cdot (-1)$?
