Hallar la probabilidad de que el otro hijo sea también varón

Question

Un hombre visita a una pareja que tiene dos hijos.Uno de ellos, un niño, entra en la habitación. Encuentra la probabilidad p de que el otro sea también un niño

a) 1/3 b) 2/3 c) 1/2 d) 3/4

Respuesta correcta: a) 1/3

Sin embargo, estoy recibiendo la respuesta como 1/2. Mi solución es la siguiente.

La pareja tiene dos hijos, por lo que el espacio muestral es el siguiente.

B- Chico G - Chica

BB BG GG ("BG" y "GB" significan lo mismo que "Girl" y "Boy"), pero ya se sabe que uno de ellos es un chico, por lo que el espacio muestral se reduce a

BB BG

Así que ahora p es 1/2

¿Hay algún error en mi enfoque?

Answer 1

Esto es no la misma pregunta que el mencionada en el comentario de Martin Sleziak, y su "ans correcta" es errónea; la probabilidad es efectivamente $\frac12$ (bajo el supuesto, no del todo cierto en la realidad pero razonable para esta pregunta, de que la probabilidad de que una persona al azar sea hombre $\frac12$ y que es independiente del género de cualquier otra persona fija).

La pregunta es equivalente a la siguiente: se elige una persona al azar $p$ y preguntar cuáles son sus hermanos; resulta que $p$ sólo tiene un hermano. ¿Cuál es la probabilidad de que $p$ ¿es masculino? También podrías decir, "elige un hombre al azar $m$ con un hermano, ¿cuál es la probabilidad de que su hermano sea hermano?" (que se asemeja más a la configuración de su pregunta); es sólo otra forma igualmente aleatoria de hacer la selección (tome $m$ para ser el hermano de $p$ ).

Hay todo tipo de formas de ver la respuesta es $\frac12$ aquí, básicamente porque el género de un hermano es independiente del otro. Si le gustan los detalles: hay $4$ posibilidades de los géneros en $2$ -familias de niños, en orden de mayor a menor edad $FF,FM,MF,MM$ , todos igual de probables. Persona $p$ puede ser el más viejo o el más joven, trata los casos por separado (de todas formas, dan las mismas probabilidades al final). Suponiendo que $p$ es mayor, el hecho de que el hermano menor sea un hermano elimina dos posibilidades dejando $FM$ y $MM$ Esto hace que las probabilidades sean iguales para $p$ ser mujer u hombre. Si $p$ es el más joven, entonces $MF$ y $MM$ se quedan, dejando de nuevo probabilidades iguales para $p$ ser mujer u hombre.

El punto esencial que distingue a esta pregunta de la enlazada es que no te dan que "uno de los hermanos es varón", lo que da un tipo de información diferente (eliminando sólo una de las cuatro posibilidades). Aquí un específico se descubre que el hermano es un niño.

Answer 2

Supongamos que los niños y las niñas nacen en proporciones globales iguales, que todos los niños sienten curiosidad por las visitas y acuden pronto a verlas cuando entran en la casa, pero que todas las niñas están ocupadas estudiando matemáticas, por el honor del espíritu humano . En consecuencia, las chicas no se preocupan por asuntos tan mundanos como la llegada de visitantes a su casa y nunca dejan de trabajar para ir a verlos.

Entonces la probabilidad de que el otro niño sea un varón es de un tercio.

Supongamos ahora que todo es como antes, excepto que los visitantes son todos matemáticos que vienen del Instituto cercano. Como consecuencia, las chicas tienen ahora tantas ganas de venir a verlos como los chicos.

Entonces la probabilidad de que el otro niño sea un varón es la mitad.

Supongamos, por último, que todo es como en la segunda versión, salvo que los chicos encuentran a los matemáticos cada vez más aburridos, por lo que dejan poco a poco de reaccionar ante estas llegadas. Mientras tanto, las chicas están tan ansiosas como siempre por ver y hablar con estos visitantes.

Entonces la probabilidad de que el otro niño sea un varón converge a uno.

Moralidad: Ocurre que los problemas de palabras se plantean de forma ambigua.

Answer 3

Este tipo de problema es difícil . Aconsejaría encarecidamente hacer un modelo de probabilidad explícito, para que todas las suposiciones queden claras. Suponemos que los niños entran en orden en una "familia", y que sus sexos vienen dados por los sucesivos lanzamientos de una moneda justa. (Este modelo no es del todo correcto). También supondremos que los dos niños lanzan una moneda justa para determinar quién será el primero en saludar a los visitantes. En las familias reales, es probable que el perdedor tenga que ir primero.

Dejemos que $X$ sea el caso de que un chico entre primero en la habitación, y que $T$ ser el caso de que la familia sea de dos niños. Queremos $\Pr(T|X)$ . Por la fórmula de probabilidad condicional habitual, tenemos $$\Pr(T|X)\Pr(X)=\Pr(T\cap X).$$ Queda por calcular $\Pr(X)$ y $\Pr(T\cap X)$ .

El evento $X$ puede ocurrir de dos maneras: (i) Es una familia de dos chicos o (ii) Es una familia de un chico, y el chico perdió y tuvo que ir primero.

Fácilmente, la probabilidad de (i) es $1/4$ . Para (ii), la probabilidad de que tengamos una familia mixta es $2/4$ . Dado que se trata de una familia mixta, la probabilidad de que el chico haya entrado primero en la habitación es $1/2$ . Así que la probabilidad de (ii) es $(2/4)(1/2)$ .

Concluimos que $\Pr(X)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$ .

Tenemos ya calculado $\Pr(T\cap X)$ es sólo la probabilidad de (i), que es $\dfrac{1}{4}$ .

De ello se desprende que $\Pr(T|X)=\dfrac{\Pr(T\cap X)}{\Pr(X)}=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}$ .

Answer 4

Se trata de un caso de probabilidad condicional: si $\,B_i\,,\,G_i\,$ denotan el caso de que el $\,i-th\,$ es un niño ( una niña ) , por lo tanto estamos buscando

$$P(B_2/B_1)=\frac{P(B_1\cap B_2)}{P(B_1)}=\frac{1/4}{1/2}=\frac{1}{2}$$ Lo anterior, por supuesto, bajo la leve aunque generalmente no cierta suposición de que los hijos de una pareja al azar tienen la misma probabilidad de ser niños que de ser niñas.

Answer 5

Supongamos que todas las parejas siguen teniendo hijos hasta que tienen un hijo y luego dejan de hacerlo. Además, supongamos que la probabilidad de que se produzcan varios nacimientos simultáneos (gemelos, trillizos, etc.) es nula.

Entonces la probabilidad de que el otro niño sea varón es del 0%.

Con estas suposiciones, también podemos decir que los dos niños son la hermana mayor y el hermano menor.