¿Si dos espacios métricos están homeomorfa, tienen sus terminaciones para ser homeomorfa?

Question

Que $ (X_1, d_1) $ y $ (X_2, d_2) $ ser espacios métricos y $ (X_1^*,d_1^*), (X_2^*,d_2^*) $, respectivamente, sus terminaciones. Si $ X_1 $ y $ X_2 $ son homeomorfa, entonces son tan $ X_1^* $ y $ X_2^*$.

¿Es cierto declaración en general?

Answer 1

No. Tomar $X_1:=(0,1)$ y $X_2:=\Bbb R$, ambos con la métrica estándar.

En $X_1$ allí será secuencias de Cauchy converge a los extremos, pero no en $X_2$.