¿Por qué hay nunca una prueba de que extender los reales a los números complejos no provocará contradicciones?

Question

El número de $i$ es definido esencialmente por una propiedad que nos gustaría tener para conducir a la toma de las raíces cuadradas de los negativos reales, para resolver cualquier polinomio, etc. Pero nunca hay una prueba que esto no puede dar lugar a contradicciones, y esto me molesta.

Por ejemplo, probablemente como para definir la división por cero, ya que los valores no definidos son simplemente molestos. Podemos introducir el número de "$\infty$" si así lo deseamos, pero al hacerlo, podemos argumentar declaraciones contradictorias, como $1=2$, por lo que, sin duda, ha visto antes.

Así, desde la definición de un número adicional para tener ciertas propiedades que antes no existían puede causar contradicciones, ¿por qué no estamos tan riguroso con la definición de $i$?

edit: me dicen que no, simplemente porque no importa cómo es largo y duro que yo miro, yo nunca encuentro nada parecido a lo que estoy buscando. Sólo una definición que se supone es compatible con todo lo que ya sabemos.

Answer 1

Hay varias formas de introducir los números complejos rigurosamente, sino, simplemente, postulando las propiedades de $i$ no es uno de ellos. (Al menos no a menos que estén acompañados por algunos teoría general cuando tales postulations son inofensivos).

La más elemental forma de hacerlo es buscar en el conjunto de $\mathbb R^2$ de los pares de números reales y, a continuación, el estudio de las dos funciones de $f,g:\mathbb R^2\times \mathbb R^2\to\mathbb R^2$:

$$ f((a,b),(c,d)) = (a+c, b+d) \qquad g((a,b),(c,d))=(ac-bd,ad+bc) $$

A continuación, es sencillo comprobar que

• $(\mathbb R^2,f,g)$ satisface los axiomas de un campo, con $(0,0)$ siendo el "cero" del campo y $(1,0)$ ser el "uno" del campo.
• el subconjunto de pares con el segundo componente se $0$ es un subcampo que es isomorfo a $\mathbb R$,
• el cuadrado de $(0,1)$$(-1,0)$, que hemos identificado con el número real $-1$, por lo que vamos a llamar $(0,1)$ $i$, y
• cada elemento de a $\mathbb R^2$ puede ser escrito como $a+bi$ real $a$ $b$ exactamente de una manera, a saber,$(a,b)=(a,0)+(b,0)(0,1)$.

Con esta construcción en la mente, si alguna vez encontramos una contradicción complejas de número de la aritmética, de esta contradicción puede ser traducido a una contradicción que implican el viejo y simple (pares) de real números. Ya que creemos que los números reales son la contradicción, por lo tanto, son los números complejos.

Answer 2

Una manera de definir los números complejos es tomar el anillo real de los polinomios de $\mathbb{R}[x]$, y el cociente por el ideal generado por el polinomio $(x^2+1)$. Este polinomio es irreducible$^{\ast}$, y por lo tanto, este cociente es un campo. Llamar a este nuevo campo de $\mathbb{C}$, y denotan la imagen $\overline{x}$ $x$ en el cociente por el símbolo $i$.

Mientras esto no arrojar luz sobre la geometría del/de la analítica de las propiedades de los números complejos, es una construcción que muestra que existe un objeto - que, creo, es lo que quieres?

$^\ast$ Editar: Un polinomio es irreducible si no tiene no trivial factores en $\mathbb{R}[x]$. Para un polinomio de grado 2 o 3, esto es equivalente a decir que no tiene raíces en $\mathbb{R}$. (Gracias a Henning Makholm y Artefacto para esta corrección)

Answer 3

Una manera de mostrar que el sistema es consistente, es exponer un modelo para él. El modelo común para los números complejos (como los pares de números reales). Estrictamente hablando, esto no es una prueba absoluta de consistencia, sino simplemente una relación de la prueba. Que es: dado cualquier contradicción acerca de los números complejos, se puede traducir en una contradicción acerca de los números reales. Después de eso, tendríamos que ir a el teorema de Tarski, que muestra que el (de primer orden) de la teoría de los números reales es consistente.

Answer 4

Hay una definición de rigor:

Definir el conjunto de ${\mathbb R}\times {\mathbb R}$ la adición $$ (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d) $$ y la multiplicación $$ (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc). $$ Y ${\mathbb R}\times {\mathbb R}$ se convierte en un campo que es isomorfo a ${\mathbb C}$ (en él $(0,1)^2=(-1,0)$).

Answer 5

Bueno, en realidad hay algunas pruebas con contradicciones. Es fácil ver aquí es donde el "pirata paso" eso no debería ocurrir. Me atrevo a buscarlo.

$$i = i$$ es decir, $$\sqrt{-1} = \sqrt{-1}$$ $$\sqrt{\frac{-1}{1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}}$$ $$\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt 1} = \frac{\sqrt 1}{\sqrt{-1}}$$ $$\sqrt{-1} \sqrt{-1} = \sqrt{1}\sqrt{1}$$ $$-1 = 1$$

Por supuesto, algunos paso a paso aquí en realidad, no es posible tomar con números complejos. ¿Eso significa que no está bien definido? En realidad, no. Pero hay algunos cálculos que podemos hacer, que no son posibles (o están mal definidos) con números complejos. No son, por supuesto, como fundamentales y que todavía nos permiten construir teoría muy interesante (a diferencia de la división por cero ejemplo, que es incompatible con el buen propiedades de los anillos).

Ver también: Bernoulli del sofisma.