Dejemos que $ABC$ sea un triángulo arbitrario con lados integrales tales que el perímetro es $2006$ . Y uno de los lados $16$ veces el otro lado. ¿Cuántos triángulos de este tipo existen?
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m0j0
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Voy a ofrecer algunas pistas.
Tienes la relación básica:
$$17x + y = 2006,$$
donde $x$ es el lado más corto y $y$ es el lado que no está obligado a ser $16$ veces el lado más corto, $16x$ .
Ahora considera esto. ¿Qué otra relación limita los lados? Pista: $(1, 16, 1989)$ no son lados válidos para un triángulo, aunque sumen $2006$ y tener un lado dieciséis veces otro. ¿Por qué no?
Esto debería hacer que el número de triples sea manejable.
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Observa que la longitud del lado más largo de un triángulo debe ser menor que la suma de las longitudes de los dos lados más cortos. Esto da lugar a los siguientes requisitos adicionales $15 x < y < 17 x$ .
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Tenga en cuenta que $2006=(118)(17)$ Así que todas las soluciones enteras de $17x+y=2006$ tener forma $y=17t$ , $x=118-t$ . Ahora tenemos que elegir el $t$ que nos dan un verdadero triángulo.
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Cuidado, una línea recta no es un triángulo :-)