Unicidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias en $D^{'}$, el espacio de distribuciones de Schwartz

Question

Deje $m \in \mathbb{N}$. Para $k=1,...,m$ deje $a_k : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ $C^{\infty}$ función. Y supongamos que:

$a_m(x) \neq 0 \; \forall x \in [x_0, \infty[$

Y sea P el operador diferencial:

$P(\frac{d}{dx})=\displaystyle{\sum_{k=0}^m} a_k (x) \frac{d^k}{dx^k}$

Dado $f \in C(\mathbb{R},\mathbb{C})$ ¿cómo puedo demostrar que la solución a la siguiente ecuación diferencial en $D^{'}([x_0,\infty])$, el espacio de Schwartz distribuitions es único?

$PU(x)=f(x)$, $\; \; \;$si $x > x_0$, $\; \; \;$ $U^{(k)}(x_0)=0, \; \; k=0,...,m-1$

He tratado de demostrar que la única solución a

$PU(x)=0$, $\; \; \;$si $x > x_0$, $\; \; \;$ $U^{(k)}(x_0)=0, \; \; k=0,...,m-1$

Es el null distribuition pero me quedo atascado. Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

¿Qué significa para $PU$ a ser cero? Esto significa que para cada función de prueba de $\phi$ $$\left\langle \sum_{k=0}^m a_k U^{(k)},\phi \right\rangle = \left\langle U, \sum_{k=0}^m (-1)^k (a_k \phi)^{(k)} \right\rangle =0 \tag1$$ donde la parte central es la definición de la izquierda. Si se puede demostrar que cada una de las pruebas de función $\psi$ puede ser escrito como $\sum_{k=0}^m (-1)^k (a_k \phi)^{(k)}$ para algunos la función de prueba de $\phi$, entonces (1) implica $U\equiv 0$. Por lo tanto, el problema de la singularidad se convierte en un problema de la existencia y regularidad de la ecuación adjunto $$\sum_{k=0}^m (-1)^k (a_k \phi)^{(k)} = \psi \tag2$$ La suposición $a_m\ne 0$ asegura que (2) es una ecuación de orden $m$ con nonvanishing coeficientes de la más alta derivado: esto permite que el estándar de la existencia y regularidad de los resultados de aplicar. Para asegurarse de que $\phi$ se desvanece para todos lo suficientemente grande $x$, resolver (2) con homogéneo condiciones iniciales $\phi^{(k)}(b)=0$ $k=0,\dots,m-1$ donde $b$ es tal que $\psi = 0 $$[b,\infty)$.