¿Hay una prueba «el calcular los grupos y comités» para la identidad $\binom{\binom{n}{2}}{2}=3\binom{n+1}{4}$?

Question

Este es el ejercicio número $57$ en Hugh Gordon Discretas de Probabilidad.

---

Para $n \in \mathbb{N}$, muestran que

$$\binom{\binom{n}{2}}{2}=3\binom{n+1}{4}$$

---

Mi solución algebraica:

$$\binom{\binom{n}{2}}{2}=3\binom{n+1}{4}$$

$$\binom{\frac{n(n-1)}{2}}{2}=\frac{3n(n+1)(n-1)(n-2)}{4 \cdot 3 \cdot 2}$$

$$2\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)\left(\frac{n(n-1)}{2}-1\right)=\frac{n(n+1)(n-1)(n-2)}{2}$$

$$2n(n-1)\frac{n^2-n-2}{2} = n(n+1)(n-1)(n-2)$$

$$n(n-1)(n-2)(n+1)=n(n+1)(n-1)(n-2)$$

Esto termina la prueba.

---

Siento que esto no es lo que el punto del ejercicio; se siente como un inmundo, poco elegante golpear con el factorial de fórmula para los coeficientes binomiales. Hay un buen recuento de argumento para demostrar la identidad? Algo que implican los comités quizás?

Answer 1

$\binom{\binom n2}2$ cuenta pares de subconjuntos de 2 elementos (distintos) de $n$-elemento conjunto. Unión de tal par es cualquier conjunto de 4 elementos (y cada conjunto de 4 elementos se cuenta 3 veces: hay 3 formas de dividir 4-set de 2 pares) o conjunto de 3 elementos (y cada conjunto de 3 elementos se cuenta también los 3 veces). Que da $3\binom n4+3\binom n3=3\binom{n+1}4$.

Answer 2

Por el lado derecho, añadir un elemento especial $s$ a su $n$-elemento fijado; continuación, seleccione $4$ elementos del conjunto ampliado y una partición de los $4$ $2$ juegos de tamaño $2$ (este último es posible en formas de $3$). Si $s$ no estaba entre los elementos seleccionados conservar los dos pares separados; de lo contrario que los pares $\{s,x\}$ y $\{y,z\}$ y mantener el % de sistemas $\{x,y\}$y $\{x,z\}$. Cada par de pares en el lado izquierdo se cuenta una sola vez.