Considerar que una variedad es $p:X\longrightarrow\operatorname{Spec K}$ donde $X$ es un esquema integral y $p$ es separado de morfismos de finito tipo. Ahora elegimos un elemento $\sigma\in\operatorname{Aut}(K)\setminus\{\operatorname{id}\}$, entonces podemos construir otra variedad, más de $K$ es decir $\operatorname{Spec}(\sigma)\circ p: X^\sigma\longrightarrow\operatorname{Spec}(K)$, donde, a pesar de que los dos nombres, tenemos que $X^\sigma=X$ como esquemas. Estas dos variedades son diferentes (en general ni siquiera isomorfo) porque el estructural morfismos son distintos, sino que son definidos por el mismo esquema subyacente. Me han demostrado que, en el marco de subconjuntos algebraicos (por lo que el trabajo con el clásico/antiguo concepto de variedad), este cambio de $X$ $X^\sigma$es equivalente a cambiar a través de $\sigma$ los coeficientes de los polinomios que definen nuestras variedades. Formalmente esto está claro, pero es difícil entender cómo el concepto de variedad, depende en gran medida en la estructura de morfismos a $\operatorname{Spec}{K}$. Simplemente modificando la morfismos, pero manteniendo el mismo esquema de $X$, obtenemos dos objetos diferentes, y esto es tan extraño! Puede usted señalar algunos otros ejemplos de la importancia de la estructura de morfismos en la moderna definición de variedades algebraicas? Me gustaría también algunas prácticas iluminación que me ayude a averiguar la situación anterior.
Respuestas
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Echemos un vistazo a los afín caso; deje $X=\mbox{Spec}(A)$ $Y=\mbox{Spec}(B)$ dos afín variedades. Variedad morfismos $X\to Y$ (en el sentido clásico) corresponden a $K$-álgebra homomorphisms $B\to A$, pero el esquema de morfismos $X\to Y$ corresponden a anillo homomorphisms $B\to A$; esto demuestra que en general hay más esquema de morfismos de variedad morfismos.
El $K$-álgebra estructura en $\mbox{Spec}(A)$ está unívocamente determinado por un homomorphism $K\to A$; es decir, un esquema de morfismos $\mbox{Spec}(A)\to\mbox{Spec}(K)$. Un anillo homomorphism $B\to A$ $K$- álgebra homomorphism si y sólo si conmuta con el homomorphisms $K\to A$$K\to B$.
Si usted tiene un espacio vectorial $V$$K$, se puede construir otro espacio vectorial $V^\sigma$ dejando $V=V^\sigma$ como aditivo grupos, pero la redefinición de la multiplicación escalar como $c\cdot v = c^\sigma v$. Los espacios vectoriales $V$ $V^\sigma$ son de manera abstracta isomorfo porque tienen la misma dimensión. De hecho, el mapa de identidad (como aditivo grupos) $V \to V^\sigma$ toma una base $\beta$$V$, a una base $\beta^\sigma$$V^\sigma$. Sin embargo, el mapa de identidad $V \to V^\sigma$ no $K$lineal, por lo $V$ $V^\sigma$ no son canónicamente isomorfo como espacios vectoriales sobre $K$. (Más precisamente, la endo-functor $V\mapsto V^\sigma$ de la categoría de $K$-espacios vectoriales no es isomorfo a la identidad functor.)
Este es exactamente el mismo fenómeno. Si usted puede sentirse cómodo con lo anterior, usted no debe tener ningún problema para tragar una píldora.
