Que $M$ denota el grupo aditivo de $ \mathbb{C} $. ¿Por qué es $ \mathbb{C}$, como un anillo, no isomorfo a $\mathrm{End}(M)$, donde además se definición pointwise y multiplicación como composición de endomorfismos?
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Respuestas
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Método 1: $\operatorname{End}(M)$ no es un dominio integral.
Método 2: Cuenta de idempotentes. Sólo hay 2 elementos idempotentes $\mathbb{C}$, pero mucho en $\operatorname{End}(M)$, como por ejemplo proyecciones reales e imaginarias junto con la identidad y cero mapas.
Método 3: cardinalidad. Suponiendo una base de Hamel para $\mathbb{C}$ como un espacio del vector $\mathbb{Q}$, hay $2^\mathfrak{c}$ $\mathbb{Q}$ vector vector espacio endomorphisms de $\mathbb{C}$, pero sólo $\mathfrak{c}$ elementos de $\mathbb{C}$.
Lorin Hochstein
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El endomorfismo anillo de $M$ es su endomorfismo grupo como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ (desde cualquier aditivo de la función en $\mathbb{C}$ es en el hecho de $\mathbb{Q}$-lineal, y cualquier $\mathbb{Q}$-lineal mapa es necesariamente aditivo).
Cuántos endomorphisms hace un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ de la dimensión de $\kappa\geq\aleph_0$? Resulta que ha $2^{\kappa}$ endomorphisms. Cualquier endomorfismo está totalmente determinado por la imagen de una base. Fijar una base $\beta$$\mathbf{V}$$\mathbb{Q}$, que es de cardinalidad $\kappa$.
Cada endomorfismo corresponde a una función $\beta\to\mathop{\oplus}\limits_{b\in\beta}\mathbb{Q} = \mathbb{Q}^{(\beta)}$. Por lo que la cardinalidad de la endomorfismo anillo es la cardinalidad de a $(\mathbb{Q}^{(\beta)})^{\beta}$.
La cardinalidad de a$\mathbb{Q}^{(\beta)}$$|\beta|=\kappa$, por lo que toda cosa tiene cardinalidad $$|\mathrm{end}(M)| = \left|\mathbb{Q}^{(\beta)}\right|^{|\beta|} = \kappa^{\kappa} = 2^{kappa}.$$ (Para una prueba de que si $\kappa$ es infinito y $2\leq\lambda\leq 2^{\kappa}$,$\lambda^{\kappa} = 2^{\kappa}$, ver esta respuesta anterior).
En el caso de $M$$\mathbb{C}$, ya que el $M$ es de dimensión $\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}$ $\mathbb{Q}$- espacio vectorial, usted tiene que $|\mathrm{End}(M)| = 2^{\mathfrak{c}}\gt \mathfrak{c}=|\mathbb{C}|$. De lo que no hay elementos suficientes en $\mathbb{C}$ a dar a todos los endomorphisms.
(Los elementos de $\mathbb{C}$ corresponden a la $\mathbb{C}$-lineal de los mapas, por supuesto, por la simple multiplicación; pero aquí va mucho más mapas).
