¿Que es más grande? $20!$ or $2^{40}$?

Question

Alguien me hizo esta pregunta, y molesta el infierno fuera de mí que yo no puedo probar de cualquier manera.

Algo así he llegado a la conclusión de que 20! debe ser mayor, ya que cuenta con 36 factores primeros, algunas de las cuales son significativamente más grandes que 2, mientras que $2^{40}$ tiene solamente factores de 2.

¿Hay alguna forma para poder formular una respuesta adecuada, definitiva de esto?

Gracias de antemano por algún consejo. Yo no soy realmente un enorme monstruo de prueba.

Answer 1

Es probablemente más fácil tenga en cuenta que $2^{40} = 4^{20}$. Son de los únicos de los 20 factores $20!$ que son más pequeños que $4$ $1$, $2$ y $3$. Pero, por otra parte, $18$, $19$ y $20$ son todos más grandes que $4^2$, para que podamos ver % $ $$ 20! = 1\cdot 2\cdot3\cdots 18\cdot19\cdot 20 > \underbrace{1\cdot1\cdot1}_{3\text{ ones}}\cdot\underbrace{4\cdot4\cdots 4\cdot 4}_{14\text{ fours}}\cdot\underbrace{16\cdot16\cdot 16}_{3\text{ sixteens}} = 2^{40} $comparando factor por factor.

Answer 2

Basta con calcular ambos números y compararlos: $$ 20! = 2432902008176640000 \\ 2 ^ {40} = 1099511627776 $$

Así que usted puede ver fácilmente que $2^{40} < 20!$

Answer 3

Utilizar una variante multiplicative del truco de Gauss: $$ (n)! ^ 2 = (1 n \cdot) (2 \cdot (n-1)) (3 \cdot (n-2)) \cdots ((n-2) \cdot ((n-1) 3) \cdot 2) (n \cdot 1) \ge n ^ n % de ajuste de $$ $n=20$, obtenemos $20!\ge 20^{10} > 16^{10} = 2^{40}$.

Answer 4

Bien sabemos que $\log_2 x$ va en aumento por lo que podríamos calcular

$$\begin{align} \log_2(20!) &=\log_2\left(\prod_{i=1}^{20}i\right) \\ &=\sum_{i=1}^{20}\log_2(i) \\ &=\log_2{1}+\log_2{2}+\log_23+\log_2{4}+\cdots+\log_2 8+\cdots+\log_216+\cdots+\log_2{20} \\ &>0+\log_2{2}+\log_2 2+\log_24+\cdots+\log_2{4}+ \\&\,\,\,\,\,\log_28+\cdots+\log_2{8}+\log_2{16}+\cdots+\log_2{16} \\ &=0+2\log_2{2}+4\log_2{4}+8\log_2{8}+5\log_2{16} \\&=0+2+4 \cdot 2+8 \cdot 3+5 \cdot 4 \\&=54 \\&>40=\log_2(2^{40}). \end {Alinee el} $$

Por lo tanto, como el aumento de $\log_2x$ tenemos $20!>2^{40}$.

En realidad esto muestra que el $20!>2^{54}$.

Answer 5

$$\frac{(20)!}{2^{40}}=\frac{(20)!}{4^{20}}=\frac14\cdot\frac24\cdot\frac34\cdot\frac44\cdots\frac{19}4\cdot\frac{20}4>\frac{3!}{4^3}\cdot\frac{19}4\cdot\frac{20}4=\frac{6\cdot19\cdot5}{64\cdot4}=\frac{570}{256}>1$$

Ese fue un planteamiento defensivo

Observe que $\displaystyle\frac14\cdot\frac24\cdot\frac34=\frac3{32}>\frac1{11}$ que se ve compensado por $\displaystyle\frac84\frac94\cdot\frac{10}4=\frac{45}4>11$

$$\implies \frac{(20)!}{2^{40}}=\frac14\cdot\frac24\cdot\frac34\cdot\frac44\cdots\frac{19}4\cdot\frac{20}4>\frac14\cdot\frac24\cdot\frac34\cdots \frac84\frac94\cdot\frac{10}4>\frac1{11}\cdot\frac{45}4>1$$

i.e., $$\frac{(20)!}{4^{20}}> \frac{(10)!}{4^{10}}>1 $$

Mediante programación, encontré $\displaystyle \frac{n!}{4^n}>1$ $n\ge9$ que creo que puede ser un buen ejercicio