Desigualdad de valor absoluto, ¿en qué me equivoco?

Question

Trató de resolver $|x^2-5x+5|<1$ utilizando el método del cuadrado, pero no sé qué he hecho mal:

$$-1<x^2-5x+5<1$$ $$-6<x^2-5x<-4$$ $$-6+\frac{25}{4}<x^2-5x+\frac{25}{4}<-4+\frac{25}{4}$$ $$\frac{25-24}{4}<\left(x-\frac{5}{2}\right)^2<\frac{25-16}{4}$$ $$\frac{\pm\sqrt1}{\sqrt4}<\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^2}<\frac{\pm\sqrt9}{\sqrt4}$$ $$\frac{\pm1}{2}<x-\frac{5}{2}<\frac{\pm3}{2}$$ $$\frac{5\pm1}{2}<x<\frac{5\pm3}{2}$$

Posibles soluciones:

$2<x<1$ (no válido)

$2<x<4$ (ok)

$3<x<1$ (no válido)

$3<x<4$ (está bien, pero es un subconjunto de la solución 2.

Por lo tanto, $S=\{2<x<4\}$

El único problema es que la solución correcta es $S=\{1<x<2\text{ or }3<x<4\}$ . ¿En qué me equivoco?

Answer 1

Cuando se toma la raíz de una desigualdad, hay que asegurarse de que todo es positivo y entonces se toman raíces positivas.

Así que después de tomar las raíces, se obtiene:

$\frac 12 < |x-\frac 52| < \frac 32$ .

Ahora, puedes considerar los dos casos $x> \frac 52$ y $x < \frac 52$ para eliminar el valor absoluto.

Answer 2

Usted tiene un $\pm$ en cada lado de la desigualdad, pero hay que cambiar el dirección de la desigualdad para el "menos".

Así que tendrías $$\dfrac{5 + 1}{2} < x < \dfrac{5+3}{2}$$ (El $+$ van juntos), o $$\dfrac{5 - 1}{2} > x > \dfrac{5 - 3}{2}$$ (El $-$ van juntos)