General prueba que un producto de polinomios homogéneos es distinto de cero (bajo ciertas condiciones).

Question

De fondo, la Notación y Definiciones: Dado un conjunto $X$, I definir el conjunto $M(X)$ de monomials con $X$-indeterminates a ser el conjunto de elementos de $\omega^X$ tener finito de apoyo. Dado $m_0,m_1\in M(X)$, puedo definir la operación $*$ $M(X)$ por $$(m_0*m_1)(x):=m_0(x)+_\omega m_1(x).$$ $\langle M(X),*\rangle$ is then a commutative, cancellative monoid, with the zero element of $\omega^X$ como la identidad.

Dado un anillo de $R$, es entonces natural para definir el conjunto $R[X]$ de polinomios con $R$-y los coeficientes de $X$-indeterminates a ser el conjunto de elementos de $R^{M(X)}$ tener finito de apoyo. Podemos definir la suma y la multiplicación de las operaciones de $\oplus$ $\odot$ $R[X]$ en términos de la adición y la multiplicación de las operaciones de $+$ $\cdot$ $R$ como sigue: $$(p_0\oplus p_1)(m):=p_0(m)+p_1(m)$$ $$(p_0\odot p_1)(m):=\underset{m_0*m_1=m}{\sum_{m_0,m_1\in M(X)}}p_0(m_0)\cdot p_1(m_1).$$ Then $\langle R[X],\oplus,\odot\rangle$ is a ring. It will be commutative when $R$ is, with unity when $R$ ha.

Yo defino la función de $\deg:M(X)\to\omega$ por $$\deg(m):=\sum_{x\in X}m(x),$$ and the function $\sigma:\bigl(R[X]\smallsetminus\{0_{R[X]}\}\bigr)\to\omega$ by $$\sigma(p):=\max\{\deg(m):m\in M(X),p(m)\ne0_R\}.$$ It is readily seen that $\deg(m_0*m_1)=\deg(m_0)+_\omega\deg(m_1)$ and that $\sigma(p_0\odot p_1)\le\sigma(p_0)+_\omega\sigma(p_1)$ whenever $p_0,p_1,p_0\odot p_1\ne 0_{R[X]}$.

I definir el conjunto $H(R,X)$ de polinomios homogéneos con $R$-y los coeficientes de $X$-indeterminates a ser el conjunto de todos los $p\in R[X]\smallsetminus\{0_{R[X]}\}$ tal que $$\sigma(p)=\min\{\deg(m):m\in M(X),p(m)\ne0_R\}.$$ It is readily seen that $H(R,X)\cup\{0_{R[X]}\}$ is a sub-semigroup of $\langle R[X],\odot\rangle$ (a sub-monoid if $R$ es unital).

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La Pregunta: a mí me parece claro que $R$ tiene la propiedad del producto cero ($a\cdot b=0_R$ implica $a=0_R$ o $b=0_R$) si y sólo si $\langle H(R,X),\odot\rangle$ es un semigroup. En ese caso, la restricción de $\sigma$ $H(R,X)$debe ser un semigroup homomorphism--que es, $\sigma(h_0\odot h_1)=\sigma(h_0)+_\omega\sigma(h_1)$.

Por desgracia, he estado golpeando mi cabeza contra la pared tratando de probar estos por algún tiempo ahora. En particular, estoy teniendo problemas para mostrar que siempre $R$ tiene la propiedad del producto cero, a continuación, $h_0\odot h_1\ne0_{R[X]}$ siempre $h_0,h_1\in H(R,X)$. He tratado de proceder por inducción sobre las cardinalidades de los apoyos de $h_0,h_1$, pero no puedo averiguar cómo hacer que la inducción de paso haga clic en.

Cualquier sugerencias, sugerencias, o bien pruebas de esto?

Answer 1

Deje $f = \sum r_i x^i$ $g = \sum s_j x^j$ ser de dos polinomios. Yo reclamo que en el producto $fg$ no es un término cuyo coeficiente que tiene la forma de $r_i s_j$ algunos $i, j$. Esto es suficiente para demostrar que el reclamo bajo el supuesto de que $R$ no tiene divisores de cero, y reduce la demanda para el siguiente sencillo geométricas argumento:

Desde $f, g$ ambos tienen un número finito de términos, podemos suponer que WLOG que $X$ es finito, es decir $|X| = n$. Vamos

$$\text{supp}(f) = \{ i \in \mathbb{Z}^n : r_i \neq 0 \}$$

indicar el apoyo. A continuación, $\text{supp}(f)$ $\text{supp}(g)$ son dos finito de conjuntos de puntos en $\mathbb{Z}^n \subset \mathbb{R}^n$. Deje $H$ ser un hyperplane en $\mathbb{R}^n$ de manera tal que ninguno de sus traduce pasa a través de dos o más puntos de $\text{supp}(f)$ o $\text{supp}(g)$ (genérico hyperplane tendrá esta propiedad). Deje $v \in \mathbb{R}^n$ ser un vector ortogonal a $H$, y decir que un punto en un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$ es extremal si $\langle v, - \rangle$ alcanza un máximo de allí. Por construcción, $\text{supp}(f)$ $\text{supp}(g)$ tienen un único extremal puntos de $i_0, j_0$ (si hay más de un punto extremal, a continuación, algunos traducir de $H$ pasa a través de todos ellos).

Ahora, $\text{supp}(fg)$ está contenida en la suma de Minkowski $\{ i + j : i \in \text{supp}(f), j \in \text{supp}(g) \}$. Además, $\langle v, i + j \rangle = \langle v, i \rangle + \langle v, j \rangle$, del que se desprende que

$$\langle v, i + j \rangle \le \langle v, i_0 + j_0 \rangle$$

con la igualdad iff $i = i_0, j = j_0$. En particular, $i + j \neq i_0 + j_0$ si $i = i_0, j = j_0$. Por lo tanto el coeficiente de $x^{i_0 + j_0}$$fg$$r_{i_0} s_{j_0}$, y la conclusión de la siguiente manera.

La imagen geométrica es es visualizable al $n = 2$. Aquí imaginar dos colecciones de puntos en el plano, y tomar por ejemplo, "más a la izquierda de los puntos" (aunque puede que tenga que inclinar el plano ligeramente si hay más de un punto más a la izquierda en cada colección).