Estuve leyendo acerca de integrales de camino porque alguien me dijo sobre él en esta cuestión. Lea algunos artículos acerca de integrales de camino, pero no podía entenderlo. ¿Puede por favor explicar integral camino para mí? ¿Qué representa? ¿Qué es la formulación?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Matemáticamente, un camino integral es una generalización de un fenómeno multidimensional, integral. En la habitual $N$-dimensiones integrales, integra $$\int dx_1 dx_2 \dots dx_N $$ más de un subespacio de ${\mathbb R}^N$, $N$- dimensión integral. Una ruta integral es un infinito-dimensional integral $$ \int {\mathcal D}f(y)\, Z[f(y)] $$ sobre todas las posibles funciones de $f(y)$ de una variable $y$, lo que puede ser un número real o un vector. Los valores de las funciones $f(0)$, $f(0.1)$, $f(0.2)$ etc. desempeñan el mismo papel que las variables $x_1$, $x_2$ etc. en la habitual multi-dimensional integral.
Debido a que el índice de $i$ $x_i$ estaba tomando valores en el conjunto finito $1,2,\dots N$, y ahora se sustituye por la variable continua $y$, la ruta integral es un infinito-dimensional integral.
Riguroso matemáticos ver un montón de problemas de la prevención de uno de definir el infinito-dimensional de la ruta integral utilizando la teoría de la medida. Pero los físicos saben que similar integrales pueden ser tratados. Hay algunos "ultravioleta divergencias", etc. una de las experiencias tratando de calcular, pero también puede ser tratado. En esencia, uno quiere usar todos los naturales de reglas que se aplican a lo finito-dimensional de las integrales. Por ejemplo, el (camino) de las integrales de una suma de dos funciones es la suma de dos (ruta de acceso) integrales, y así sucesivamente.
Dos aplicaciones más importantes de la ruta de las integrales en la física son en su enfoque de la mecánica cuántica, especialmente la teoría cuántica de campos; y la mecánica estadística.
En (clásica) de la mecánica estadística, se quiere calcular la partición de la suma de la $$ Z = \sum_C \exp(-\beta E_c) $$ sobre todas las configuraciones $c$ del sistema físico. Pero debido a que las configuraciones están a menudo marcadas por la totalidad de las funciones de $f(y)$ – un número infinito de valores en todos los valores permitidos de que el argumento de $y$ – la suma no es realmente una "suma". No es un finito-dimensional integral. Es un camino integral.
En la mecánica cuántica, el complejo de las amplitudes de probabilidad etc. se calcula como $$ {\mathcal A}_{fi} = \int {\mathcal D}\phi(y)\,\exp(iS[\phi(y)]/ \hbar)$$ es decir, como la ruta integral sobre todas las configuraciones de las variables $\phi(y)$ etc. El integrando es una fase un número cuyo valor absoluto es de uno y el ángulo de fase depende de la acción clásica evaluado a partir de la posible historia de la $\phi(y)$. Los estados inicial y final $i,f$ son incorporados por la integración de más de estas configuraciones en los "tiempos intermedios" que obedecen a las condiciones de contorno adecuadas.
Casi todos los de la teoría del campo cuántico puede ser expresado como un cálculo de algunos ruta de las integrales. Lo que en este sentido, el aprendizaje de "todo" acerca de una ruta integral es equivalente a aprender casi todos los de la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos, que puede requerir entre un semestre y 10 años de intenso estudio, dependiendo de la profundidad que se quiera obtener. Seguramente no puede ser cubierto en uno-tamaño de la respuesta en este servidor.
El cálculo de la ruta de las integrales con la Gaussiana es decir $\exp({\rm bilinear})$ integrando, tal vez con el polinomio de prefactors en la integración de las variables, es quizás el más importante o "más simple" ejemplo de no trivial de la ruta integral que realmente necesitamos en la física.
En la mecánica cuántica, la ruta integral representa el explícito fórmula final para cualquier probabilidad de amplitud. La amplitud para cualquier transición desde el estado $|i\rangle$ para el estado $|f\rangle$ puede ser expresado directamente como un camino integral, y la probabilidad es el valor absoluto de la probabilidad de la amplitud al cuadrado. Todo lo que la mecánica cuántica permite calcular reduce a estas probabilidades por lo que el camino de la integral representa el "todo" en la mecánica cuántica. (Este párrafo fue publicado originalmente como un comentario de la mina, y el usuario que propuso esta edición tenía una buena razón para hacerlo).
