División factorial y restos: 100! +102! mod 100

Question

Estoy teniendo algunos problemas con división de factorial. Me han preguntado para determinar el resto de $11!$ bajo división de $12$. Mi lógica es que $11! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots$ parando así $3\cdot4=12$, hay un resto de $0$. ¿Es esto correcto? ¿Hay una manera más de matemáticas y de hacerlo?

¿Tiene mi lógica para este ejemplo: $100!+102!$ dividido por $100$, donde $100$ obviamente divide $100!$ y $102!=102\cdot101\cdot100\cdots$ así nuevamente no hay ningún resto?

Answer 1

Sí es correcto, pero aquí existe otra menos descriptivo formas de la prueba.

$$\left(\forall n \in \mathbb{N}^{+}\right) \left(\forall \mediados n\right) \left(\existe k \in \mathbb{Z}\right) \left( n = ak \right)$$

So, $\left(100 \mediados de 102! \wedge 100\mediados de 100!\right) \Rightarrow \left(\existe k',k" \in\mathbb{Z}\right)\left(100k' = 100! \wedge 100k" = 102!\right)$, in accordance with this

$$100! + 102! = 100 k' + 100 k'' = 100(k'+k'') \equiv 0 \pmod{100}$$

You can also provide it other way.

$$\begin{split} \left(100 \mid 100! \wedge 100 \mid 102!\right) &\Longrightarrow \left( 100! \equiv 0 \mod{100} \wedge 102! \equiv 0 \mod{100}\right)\\ &\Longrightarrow 100! + 102! \equiv 0 \pmod{100} \end{split}$$

But it's just other words for that.

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We should note, that $100 \mediados de 100! \wedge 100 \mid 102!$. In fact you didn't have to write so much to prove it ($102! = 102 \cdot 101 \cdot 100 \cdot 99! \Rightarrow 100 \mediados de 102!$) lo que si me pregunto 1234!? Debemos notar que el simple hecho aquí.

$$\left(\forall n \in \mathbb{N}^{+}\right)\left(\forall a' \in \mathbb{N}^{+}\right) \left(a' \leq n \Longrightarrow a' \mid n!\right)$$

I think it's obvious, because $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n$. Problematic can be question, if $291 \mid 100!$? But we can note $291 = 97 \cdot 3$, and $3,97 < 100 \cuña 3 \neq 97 $ así que sí.