Definición de la álgebra simétrica en una característica arbitraria de espacios calificados del vector

Question

¿Cuál es la definición correcta de la álgebra simétrica a través de una gradual espacio vectorial V sobre un campo k?

De manera más general: ¿Cuál es la definición correcta de la álgebra simétrica sobre un objeto en un monoidal simétrica categoría (que es adecuadamente (co-)completa)?

Dos posibles definiciones vienen a mi mente:

1) Tome el tensor de álgebra sobre V e identificar los tensores que difieren sólo por un elemento del grupo simétrico, es decir, tomar la coinvariants wrt. el grupo simétrico. El resultado de álgebra a es entonces el álgebra universal, junto con un mapa V -> A tal que el producto de los elementos de V es conmutativa.

2) Tomar el tensor de álgebra sobre V y dividen el ideal generado por antisimétrica de dos tensores. En este caso, la resultante de álgebra a es el álgebra universal, junto con un mapa V -> A tal que el producto de Un desvanece en todos los antisimétrica de dos tensores (uno podría decir que todos los conmutadores de desaparecer).

La definición 1) se ve más natural y le da, por ejemplo, el polinomio anillo en el caso de que V es de grado 0.

La definición 2) aplica un espacio vectorial desplazado por el grado 1 da (hasta el grado de cambio) el exterior de álgebra sobre la unshifted espacio vectorial. Sin embargo, en carácter 2 por ejemplo, uno no obtiene el polinomio anillo si uno empieza con un espacio vectorial de grado 0.

Finalmente, ambas definiciones tienen una deficiencia en la que no conmutan bien con el cambio de base.

Answer 1

Esta no es una respuesta, como creo que Scott hizo un mejor trabajo que yo podría tener. Otro de álgebra que generaliza el álgebra simétrica en el carácter distinto de cero es el álgebra de la división de los polinomios. Vamos a V ser finito-dimensional espacio vectorial sobre k un campo, y dejar que V* ser su espacio dual. Para cada n, escribir en el espacio de n-lineal de los mapas de V* a k, y tomar el subespacio de mapas que son invariantes bajo la natural S_n-acción. La suma directa de todos estos espacios es una k-álgebra, donde la multiplicación es la siguiente. Para multiplicar una simétrica m-lineal mapa por un simétrica de n-lineal mapa, para cada subconjunto de tamaño m de un conjunto de tamaño m+n considerar la (m+n)-lineal mapa que envía el subconjunto a través de la m-lineal multiplicand / multiplicando y el resto a través de la n-lineal; a continuación, agregue todos los m-elegir-n muchas maneras de hacer esto. A continuación, esta álgebra de acuerdo con el álgebra simétrica sobre V cuando k es característico de cero, pero no lo contrario. Por ejemplo, cuando V es unidimensional con base de vectores x, entonces el álgebra simétrica es el polinomio de algebra k[x], mientras que la de arriba de construcción, los rendimientos de la algebra k[x,x²/2,x³/6,x⁴/24,...]. De hecho, el álgebra simétrica de V* y el álgebra son naturalmente gradual álgebras de Hopf, y de hecho son duales como graduada de álgebras de Hopf.

Answer 2

Simétrica álgebras (aka gratis conmutativa asociativa unital álgebras) están dadas por un functor, y la satisfacción de una característica universal: Si M es un módulo a través de un anillo conmutativo k y R es conmutativo k-álgebra, entonces k-álgebra homomorphisms de Sym_k(M) a R se en bijection con k-módulo de mapas de M a R. Este bijection debe ser functorial con respecto a R (es decir, el anillo de homomorphisms en el destino). Más sucintamente, el álgebra simétrica functor que queda adjunto a la olvidadizo functor de la propiedad conmutativa de k-álgebras a k-módulos. Esta es la descripción en el "categórica" propiedades de la sección del artículo de la Wikipedia.

El universal la construcción normalmente los rendimientos de la definición 1, pero en la que se derivan mundo, usted podría tener que hacer algo extra, como tomar homotopy coinvariants (esto significa tomar algún tipo de resolución para obtener un libre grupo simétrico de acción).

Answer 3

En términos simples, a mí me parece que depende de su definición de "calificada conmutativo k-álgebra". Quisiera aprovechar este medio que

$xy =(-1)^{|x||y|}yx$

donde |x| denota el grado de la homogénea elemento x. Así que me gustaría dividir por el ideal generado por

$xy -(-1)^{|x||y|}yx$

para homogénea de los elementos de x, y en V. Esta es la captura de el polinomio de álgebra si el vecotr espacio en el grado 0, y el exterior de álgebra si el espacio vectorial es de grado 1 y el carácter no es 2, sino el polinomio de álgebra si la característica es 2. Esta es la definición correcta para la topología algebraica.

Pero, por supuesto, hay otras posibles definiciones, como otros han dicho.

Answer 4

Mi entendimiento es que la forma "correcta" para definir el álgebra simétrica trata de un trenzado que le indica cómo el grupo simétrico actúa sobre el tensor de productos. Y de una forma fácil y de manera general para conseguir un trenzado es considerar la categoría de representaciones de un cuasi triangular álgebra de Hopf; este es un camino corto para definir la categoría de supervector espacios y recuperar la noción usual de graduados-conmutatividad allí.

El problema es que cuando dices "graduales" (es decir, con respecto a un grupo) que sólo está especificando en el mejor de un álgebra de Hopf, no es un cuasi-estructura triangular. Así que la respuesta depende de lo posible cuasi triangular estructuras están flotando alrededor (en la $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ de los casos en el grupo de álgebra de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$) y, por supuesto, para un grupo de orden $|G|$ cosas terribles que van a suceder en el carácter dividiendo $|G|$.

Answer 5

Cuál es la definición correcta depende de lo que quieres hacer con él.

No importa cuánta tecnología lanzar la pregunta, incluyendo homotopía coinvariants y la cuasi-triangulares álgebras de Hopf, "derecha" es una noción relativa :D