Propiedades de matrices $M=UDU^*$ $UU^*=Id$

Question

Recientemente me encontré con algunas matrices de la forma $M=UDU^*$ (el superíndice $*$ denota la transpuesta conjugada), donde $U \in \mathbb{C}^{r\times n}$ $r<n$, $D \in \mathbb{C}^{n \times n}$ una matriz diagonal y $UU^*=\text{Id} \in \mathbb{C}^{r \times r}$ la matriz identidad.

(Tenga en cuenta que $U$ es rectangular, por lo que la última condición no es que el $U$ es unitario).

Estoy interesado en los valores propios de $M$, en particular cómo ellos se relacionan con los valores propios de la matriz $D$.

¿Cualquier sugerencias?

Answer 1

Deje $U=PSQ^\ast$ ser una descomposición de valor singular. Desde $U$ ha ortonormales filas, $S=(I_r,0_{r\times(n-r)})$. Por lo tanto, $UDU^\ast$ es unitarily equivalente al líder principal de $r\times r$ submatriz de a $Q^\ast DQ$. En otras palabras, básicamente se está preguntando acerca de la relación entre los valores propios de una arbitraria normal de la matriz y los valores propios de su principal submatriz.

Es bien conocido (pls consultar cualquier libro de referencia sobre advanced algebra lineal) que

• El espectro de cualquier complejo de la plaza de la matriz se encuentra dentro de la matriz del rango numérico.
• El rango numérico de cualquier complejo de la plaza es un superconjunto de todos los rangos numéricos de sus principales submatrices.
• El rango numérico normal de una matriz es, precisamente, el casco convexo de los autovalores.

Por lo tanto, los autovalores de a $U^\ast DU$ son combinaciones convexas de los autovalores de a $D$.

Si $D$ pasa a ser real, no es una más refinada de la relación entre los valores propios de una Hermitian de la matriz con los valores propios de su submatriz principal, a saber, la de Cauchy del entrelazado de la desigualdad.

Answer 2

Los autovalores de a $M$ son combinaciones convexas de los valores propios (es decir, las entradas de la diagonal) de $D$.

Para ver esto, observe que $P=U^*U$ es una proyección, ya que $P^2=U^*UU^*U=U^*U=P$. Concretamente, es la proyección sobre el subespacio generado por las filas de $U$.

Desde los autovalores de a $AB$ son los mismos que los autovalores de a $BA$, los autovalores de a $M=UDU^*$ son los mismos que los autovalores de a $DU^*U=DP$, que también son los autovalores de a$(DP)P$, por lo que también son los autovalores de a $PDP$.

El caso de autovalor cero es trivial: si $M$ cero como valor propio, entonces al menos uno de los $d_k=0$, e $0=1\,d_k$ es una combinación convexa.

Ahora supongamos que $w$ es un valor distinto de cero de la unidad de vector propio de a $PDP$ con un valor distinto de cero autovalor $\lambda$. Por lo $PDPw=\lambda w$; multiplicando por la izquierda por a $P$, obtenemos $PDP=\lambda Pw$. Tenga en cuenta que $Pw=\lambda^{-1}PDP=w$. Ahora $$ \lambda=\langle\lambda w,w\rangle=\langle PDPw,w\rangle=\langle departamento de obras públicas,Pw\rangle=\langle Dw,w\rangle. $$ Si escribimos $d_1,\ldots,d_n$ para los elementos de la diagonal de a $d$, tenemos $$\etiqueta{1} \lambda=\langle Dw,w\rangle=\sum_{j=1}^n\,|w_j|^2\,d_j. $$ Como $w $ es un vector unitario, los números de $|w_1|^2,\ldots,|w_n|^2$ son convexas de los coeficientes.

Finalmente, en $(1)$ que puede ser un poco más específico acerca de los números de $w_j$. Vimos anteriormente que el $Pw=w$; esto significa que $w$ está en el intervalo de las filas de $U$, decir $v_1,\ldots,v_r$. Como estos son ortonormales y $w$ es un vector unitario, tenemos $w=\sum_{k=1}^r\alpha_k\,v_k$, $|\alpha_1|^2,\ldots,|\alpha_r|^2$ convexa de los coeficientes. Entonces, la escritura de $e_1,\ldots,e_n$ de la base canónica, $$ w_j=\langle w,e_j\rangle=\sum_{k=1}^r\alpha_k\langle v_k,e_j\rangle=\sum_{k=1}^r\alpha_k\,U_{k,j}. $$