Hipótesis más débiles para la integración por partes

Question

Me preguntaba Cuáles son la hipótesis más débil para aplicar integración por partes para calcular $ $$\int_a^b fg dm,$$ where $m$ denotes the Lebegue measure on $\mathbb R.

Es suficiente que sea diferenciable en $f$, $(a,b)$$f' \in L^1(a,b)$ y $g \in L^1(a,b)$ a escribir

¿$$ \int_a^b fg dm = \left[f (x) \int_a^x g (t) dm (t) \right] _a ^ b - \int_a^b f ' \left (\int_a^x g (t) dm(t) \right) dm(x)? $$

Answer 1

La proposición: Suponga que el $f$ es absolutamente continua en $[a,b]$$g\in L^1([a,b])$. Para $x\in[a,b]$, denotan $G(x)=\int_a^xg~dm$. Entonces $$\int_a^b fg~dm=f(b)G(b)-f(a)G(a)-\int_a^bf'G~dm.\tag{1}$$

Prueba: Dado que tanto $f$ $G$ son absolutamente continuas en $[a,b]$, $fG$ también es absolutamente continua en $[a,b]$, y
$$(fG)'(x)=f'(x)G(x)+f(x)g(x)\quad a.e. x\in[a,b].\tag{2}$$ La integración de $(2)$ más de $[a,b]$, $(1)$ de la siguiente manera. $\quad\square$

Comentario: Si $f$ es diferenciable en a$[a,b]$$f'\in L^1([a,b])$, $f$ es absolutamente continua en $[a,b]$. Véase, por ejemplo, el Teorema 7.21 en Real y en el Análisis Complejo(Tercera Edición), por Walter Rudin.